２００６年度幾何学 III 演習問題 １１月１４日

復習問題 (1) 円周 S^{1} = R/Z 上の連続関数 f のフーリエ展開を ∑_{n} a_{n}e^{2π\sqrt{−1}nt} と

する (a_{n} = ∫_{0}^{1} e^{−2π\sqrt{−1}nt}f(t)dt) とき、 f が C^{∞} 級であることと、任意の正整数 r に対し |n|^{r}|a_{n}| が有界であることは同値であることを示せ。 (注意： f が実数値 ⟺ \overline{a_{−n}} = a_{n}）

(2) 円周 S^{1} = R/Z 上の C^{∞} 級微分１形式 α = gdt について、 g = ∑_{n} b_{n}e^{2π\sqrt{−1}nt}

とフーリエ展開し、 α が全微分となるための条件を求めよ。

定義 [C^{∞} ホモトピック] ２つの C^{∞} 級写像 φ_{0}, φ_{1} : M ⟶ N が、 C^{∞} ホモトピックであるとは、 C^{∞} 級写像 φ : [0, 1] × M ⟶ N で、 φ_{0} = φ(0, ·), φ_{1} = φ(1, ·) となるものが存在することである。

問題１． φ_{0}, φ_{1} : M ⟶ N が、 C^{∞} ホモトピックのとき、 φ_{0}^{∗} = φ_{1}^{∗} であることを示せ. 問題２．多様体 M とユークリッド空間 R^{m} の直積 R^{m}×M に対し、 H_{DR}^{p}(R^{m}×M) ≅ H_{DR}^{p}(M) であることを示せ。

定義 [マイヤー・ビエトリス完全列] M_{1}, M_{2} を（コンパクト）多様体 M の開集合で M = M_{1} ∪ M_{2} を満たすものとする. M_{12} = M_{1} ∩ M_{2} とおき,

\begin{matrix}i_{1} : M_{12} ⟶ M_{1} & i_{2} : M_{12} ⟶ M_{2} \\ j_{1} : M_{1} ⟶ M & j_{2} : M_{2} ⟶ M \end{matrix}

を包含写像とする. このとき、コチェイン写像の短完全列

0 ⟶ Ω^{∗}(M) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})} Ω^{∗}(M_{1}) ⊕ Ω^{∗}(M_{2}) ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} Ω^{∗}(M_{12}) ⟶ 0

が引き起こすドラームコホモロジーの長完全列をマイヤー・ビエトリス完全列と呼ぶ。

⋯ ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} H^{p−1}(M_{12})
⟶^{Δ^{∗}} H^{p}(M) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})} H^{p}(M_{1}) ⊕ H^{p}(M_{2}) ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} H^{p}(M_{12})
⟶^{Δ^{∗}} H^{p+1}(M) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})}  ⋯

問題３．円周 S^{1} = R/Z を M_{1} = π((0, 1)), M_{2} = π((−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) で被覆する。

0 ⟶ H_{DR}^{0}(S^{1}) ⟶ H_{DR}^{0}(M_{1}) ⊕ H_{DR}^{0}(M_{2}) ⟶ H_{DR}^{0}(M_{12}) ⟶ H_{DR}^{1}(S^{1}) ⟶ 0

は次と同型である。

0 ⟶ R ⟶  R ⊕ R  ⟶ R ⊕ R ⟶ H_{DR}^{1}(S^{1}) ⟶ 0

ここで H_{DR}^{0} は連結成分上定数であるような関数と同一視される。 ν_{1} : [0, \frac{1}{2}] ⟶ [0, 1] を [0, \frac{1}{6}] 上で 0, [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] 上で１であるような C^{∞} 級関数, ν_{2} :

[\frac{1}{2}, 1] ⟶ [0, 1] を ν_{2}(t) = ν_{1}(t − \frac{1}{2}) とする。 ν_{1}, ν_{2} とその導関数を使って、 Δ^{∗} : H_{DR}^{0}(M_{12}) ⟶ H_{DR}^{1}(S^{1}) を記述せよ (Δ^{∗}(a, b) を代表する１形式を書け)。