２００６年度幾何学 III 演習問題 １０月３１日

復習問題１． n 次元 C^{∞} 級多様体の定義を述べよ。

復習問題２． n 次元 C^{∞} 級多様体 M のコンパクト部分集合 K とそれを含む開集合 U が与えられているとする。 U 上の C^{∞} 級関数 f に対し、 M 上の C^{∞} 級関数 g で f|K = g|K となるものが存在することを示せ。

問題１． m 次元ユークリッド空間の開集合 V から n 次元ユークリッド空間の開集合 W への C^{∞} 級写像 φ : V ⟶ W と W 上の微分 p 形式 α に対し、 φ^{∗}(dα) = dφ^{∗}α を示せ。

定義． n 次元ユークリッド空間 R^{n} の開集合 U に対し、 [0, 1]×U ⊂ R^{n+1} を考える。 [0, 1]×U の C^{∞} 級微分 p 形式とは [0, 1] × U の近傍で定義されている C^{∞} 級微分 p 形式の [0, 1] × U への制限であると考える。 [0, 1] × U の C^{∞} 級微分 p 形式全体を Ω^{p}([0, 1] × U) と書く。 [0, 1] × U の座標を (x_{0}, x_{1}, ⋯, x_{n}) とする。 p > 0 に対して、 α ∈ Ω^{p}([0, 1] × U) が

∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}i_{2}···i_{p}}dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}} で与えられているとする。 a ∈ [0, 1] に対し、

I_{a}(α) = ∑_{0<i_{2}<···<i_{p}} ( ∫_{a}^{x_{0}} f_{0i_{2}···i_{p}}dx_{0})dx_{i_{2}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}}

と定義する。

問題２．写像 π : [0, 1] × U ⟶ U を π(x_{0}, x) = x で定義し、 a ∈ [0, 1] に対し、写像 ι_{a} : U ⟶ [0, 1] × U を ι_{a}(x) = (a, x) と定義する。上の I_{a} について次が得られることを示せ。

d(I_{a}(α)) + I_{a}(dα) = α − π^{∗}(ι_{a}^{∗}α)

定義． n 次元多様体 M の点 x において、 M 上の関数 f_{1}, f_{2} が同値であることを、 x のまわりの座標近傍 (U, φ) を用いて、

f_{1} ∼ f_{2} ⟺ d(f_{1}∘φ^{−1})_{(φ(x))} = d(f_{2}∘φ^{−1})_{(φ(x))}

により定義する。 d(f_{k}∘φ^{−1})_{(φ(x))} (k = 1, 2) は φ(x) における全微分の値である。同値類 C^{∞}(M)/ ∼ を T_{x}^{∗}M と書き、 x における M の余接空間と呼ぶ。

問題３．

(0) 上の同値関係 ∼ は、 x のまわりの座標近傍のとりかたによらないことを示せ。 (1) n 次元多様体 M の点 x における余接空間 T_{x}^{∗}M は C^{∞}(M) の実ベクトル空間の構造から定まる n 次元ベクトル空間の構造を持つことを示せ。

(2) F : M ⟶ N を C^{∞} 級写像とする。 N 上の C^{∞} 級写像 f に対し、 F^{∗}f = f ∘F を対応させる写像は準同型写像 F^{∗} : T_{F (x)}^{∗}N ⟶ T_{x}^{∗}M を引き起こすことを示せ。