２００６年度幾何学 III 演習問題 １月２３日

問題１．２次元単位球面 S^{2} に対してステレオグラフ射影 π_{N} : S^{2} \ {p_{N}} ⟶ R^{2}, π_{S} : S^{2} \ {p_{S}} ⟶ R^{2} を考える。

\begin{matrix}π_{N}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (v_{1}, v_{2}) = (\frac{x_{1}}{1 − x_{3}} , \frac{x_{2}}{1 − x_{3}} ) \\ π_{S}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (u_{1}, u_{2}) = (\frac{x_{1}}{1 + x_{3}} , \frac{x_{2}}{1 + x_{3}} ) \end{matrix}

(1) R^{2} 上の多項式係数のベクトル場の ξ = P (v_{1}, v_{2})\frac{∂}{∂v_{1}} + Q(v_{1}, v_{2})\frac{∂}{∂v_{2}} について (π_{N}^{−1})_{∗}ξ が S^{2} 上の微分可能ベクトル場に拡張するためには P, Q の次数は２次以下であることを示せ。

(2) R^{2} 上の多項式係数の微分１形式 α = P (v_{1}, v_{2})dv_{1} + Q(v_{1}, v_{2})dv_{2} について π_{N}^{∗}α は S^{2} 上の微分可能微分形式に拡張しないことを示せ。ヒント： (1) π_{S}_{∗}(π_{N}^{−1})_{∗}ξ を書き下し、原点に拡張するかどうか考える。 (2) π_{S}^{−1}^{∗}(π_{N})^{∗}α を書き下し、原点に拡張するかどうか考える。

定義 [リー微分] ベクトル場 ξ がフロー φ_{t} を生成しているとする。微分 p 形式 α に対し、微分 p 形式 ( \frac{d}{dt} )_{t=0}φ_{t}^{∗}α は、 α の ξ によるリー微分と呼ばれ、 L_{ξ}α と書かれる。

問題２． (1) 微分 p 形式 α, 微分 q 形式 β, ベクトル場 ξ に対して、 L_{ξ}(α ∧ β) = (L_{ξ}α) ∧ β + α ∧ (L_{ξ}β) を示せ。

(2) 微分 p 形式 α, ベクトル場 ξ に対して、 d(L_{ξ}α) = L_{ξ}dα を示せ。

問題３．微分 p 形式 α, ベクトル場 ξ, η に対して (L_{ξ}L_{η} − L_{η}L_{ξ})α = L_{[ξ,η]}α が成立することを次の順で示せ。

(1) 微分０形式、微分１形式に対して示す。 (2) 微分 p 形式 α, 微分 q 形式 β に対して成立していることを仮定して、外積 α ∧ β に対して成立することを示す（問題２ (1) を使う）。 (3) 題意を示す。

問題４．内部積が多様体上で定義されることは以下により示される。

(1) 微分 p 形式 α, 微分 q 形式 β の外積 α∧β に対し, i_{ξ}(α∧β) = (i_{ξ}α)∧β +(−1)^{p}α∧(i_{ξ}β) が成立することを示せ。

(2) F : U ⟶ V をユークリッド空間の開集合 U, V の間の微分同相写像とする。 V 上の微分 1 形式 α, V 上のベクトル場 ξ に対し、 F^{∗}(i_{ξ}α) = i_{F^{−1}_{∗}ξ}F^{∗}α を示せ。

(3) F : U ⟶ V をユークリッド空間の開集合 U, V の間の微分同相写像とする。 V 上の微分 p 形式 α, V 上のベクトル場 ξ に対し、 F^{∗}(i_{ξ}α) = i_{F^{−1}_{∗}ξ}F^{∗}α を示せ（問題３と同様の議論で (1) を使う）。

問題５．微分 p 形式 α, ベクトル場 ξ, η に対して i_{ξ}L_{η}α − L_{η}i_{ξ}α = i_{[ξ,η]}α が成立することを問題３と同様に示せ。

問題６． R^{3} 上の微分 1 形式 α = x_{1}dx_{1} + x_{2}dx_{2} + x_{3}dx_{3}, 微分 2 形式 ω = x_{1}dx_{2} ∧ dx_{3} − x_{2}dx_{1} ∧ dx_{3} + x_{3}dx_{1} ∧ dx_{2}, 微分 3 形式 Ω = dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3} を考える。行列 A = (A_{ij})_{i,j=1,2,3} が定める、線形写像 A : R^{3} ⟶ R^{3} について次に答えよ。

(1) A^{∗}α = α となるための行列 A の条件を求めよ。

(2) A^{∗}ω = ω となるための行列 A の条件を求めよ。

(3) A^{∗}Ω = Ω となるための行列 A の条件を求めよ。

問題７．問題６の微分形式 α, ω, Ω, R^{3} 上の線形ベクトル場 ξ = ∑_{i,j=1}^{3} a_{ij}x_{j} \frac{∂}{∂x_{i}} を考える。

(1) L_{ξ}α = 0 となるための ξ の条件を求めよ。

(2) L_{ξ}ω = 0 となるための ξ の条件を求めよ。

(3) L_{ξ}Ω = 0 となるための ξ の条件を求めよ。

定義 [微分形式のベクトル場における値] 微分 p 形式 α, ベクトル場 ξ_{1}, …, ξ_{p} に対し、 α(ξ_{1}, …, ξ_{p}) = i_{ξ_{p}} ⋯ i_{ξ_{1}}α と定義する（関数 f に対し i_{ξ}df = ξ(f) である）。

注意： α(ξ_{1}, …, ξ_{p}) = \frac{1}{p!} i_{ξ_{p}} ⋯ i_{ξ_{1}}α とする定義もある。

問題８．問題５を用いて、次を示せ（これらを外微分、リー微分の定義とすることもある）。 (1) 微分１形式 α に対し、 (dα)(ξ_{1}, ξ_{2}) = ξ_{1}(α(ξ_{2})) − ξ_{2}(α(ξ_{1})) − α([ξ_{1}, ξ_{2}]).

(2) 微分 p 形式 α に対し、

\begin{aligned}(dα)(ξ_{1}, …, ξ_{p+1}) = & ∑_{i=1}^{p+1}(−1)^{i−1}ξ_{i}(α(ξ_{1}, …, ξ_{i−1}, ξ_{i+1}, …, ξ_{p+1})) \\ & + ∑_{i<j}(−1)^{i+j}α([ξ_{i}, ξ_{j}], ξ_{1}, …, ξ_{i−1}, ξ_{i+1}, …, ξ_{j−1}, ξ_{j+1}, …, ξ_{p+1}) \end{aligned}

(3) (L_{ξ}α)(ξ_{1}, …, ξ_{p}) = ξα(ξ_{1}, …, ξ_{p}) − ∑_{i=1}^{p} α(ξ_{1}, …, ξ_{i−1}, [ξ, ξ_{i}], ξ_{i+1}, …, ξ_{p})

定義 [リー群] 群 G が多様体の構造をもち、群演算 G × G ⟶ G が C^{∞} 級写像となるとき、 G はリー群と呼ばれる（このとき、陰関数定理を用いると、逆元をとる演算 G ⟶ G は C^{∞} 級写像となることがわかる）。 G の元 g による左移動 L_{g} : G ⟶ G は L_{g}(h) = gh で定義される。左移動で不変なベクトル場、微分形式を左不変ベクトル場、微分形式とよぶ。これらは単位元 1 における値で定まる。左不変ベクトル場 ξ, η のブラケット積 [ξ, η] は、左不変ベクトル場となる。また、左不変形式 α の外微分 dα は左不変形式となる。行列で表されるリー群上の左不変ベクトル場 A で生成されるフローは φ_{t}^{A}(B) = Be^{tA} と書かれる。

問題９． (1) SO(3) のリー代数 𝔰o(3) ≅ T_{1}SO(3) は 3 × 3 交代行列 (^{t}A + A = 0) で表さ

れる。基底 e_{1} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}), e_{3} = (\begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) に対し、 [e_{i}, e_{j}]

を計算せよ。左不変微分１形式の基底を双対基底 e_{1}^{∗}, e_{2}^{∗}, e_{3}^{∗} とするとき、 de_{i}^{∗} を求めよ。

(2) SL(2; R) のリー代数 𝔰l(2; R) ≅ T_{1}SL(2; R) はトレースが 0 の 2 × 2 行列 (TrA = 0) で表される。基底 H = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}), S = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), U = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) に対し、これらのブラケット積を計算せよ。左不変微分１形式の基底を双対基底 H^{∗}, S^{∗}, U^{∗} とするとき、それらの外微分を求めよ。