２００６年度幾何学 III 演習問題 １０月３日

復習問題１．微積分学の基本定理とは何か。

復習問題２． n 次元ユークリッド空間の開集合 U 上の実数値関数 f が C^{r} 級 (r = 1, …, ∞) であることの定義を述べよ。

復習問題３．平面の開集合 U 上の C^{2} 級実数値関数 f は\frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} を満たすこと示せ。

定義 [微分１形式, 線積分] ユークリッド空間の開集合 U 上の連続関数 f_{1}(x), …, f_{n}(x) に対して、 f_{1}dx_{1} + ⋯ + f_{n}dx_{n} を、 U 上の微分１形式（あるいは１次微分形式）と呼ぶ。微分１形式 f_{1}dx_{1} + ⋯ + f_{n}dx_{n} の連続微分可能曲線 γ : [a, b] ⟶ U (γ(t) = (γ_{1}(t), …, γ_{n}(t))) 上の積分（線積分）を次で定義する。

∫_{γ} (f_{1}dx_{1} + ⋯ + f_{n}dx_{n}) = ∫_{a}^{b} (f_{1}(γ(t)) \frac{dγ_{1}}{dt} (t) + ⋯ + f_{n}(γ(t)) \frac{dγ_{n}}{dt} (t))dt

定義 [全微分] ユークリッド空間の開集合 U 上の連続微分可能な関数 f に対し、 df =

\frac{∂f}{∂x_{1}} dx_{1} + ⋯ + \frac{∂f}{∂x_{n}} dx_{n} を f の全微分と呼ぶ。

問題１．ユークリッド空間の開集合 U 上の連続微分可能な関数 f, 連続微分可能曲線 γ : [a, b] ⟶ U について、 ∫_{γ} df = f(γ(b)) − f(γ(a)) を示せ。

問題２． f_{1}, f_{2} が平面上で定義された連続微分可能な関数で、\frac{∂f_{1}}{∂x_{2}} = \frac{∂f_{2}}{∂x_{1}} を満たすとする。 df = f_{1}dx_{1} + f_{2}dx_{2} を満たす f は、 f(x_{1}, x_{2}) = ∫_{0}^{x_{1}} f_{1}(s, 0)ds + ∫_{0}^{x_{2}} f_{2}(x_{1}, t)dt で与えられることを示せ。

問題３．原点を除いた平面上で定義された

f_{1}dx_{1} + f_{2}dx_{2} = −\frac{x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} dx_{1} + \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} dx_{2}

を考える。 (1) \frac{∂f_{1}}{∂x_{2}} = \frac{∂f_{2}}{∂x_{1}} を満たしていることを示せ。

(2) df = f_{1}dx_{1} + f_{2}dx_{2} となる R^{2} \ {0} 上で定義された関数 f は存在しないことを示せ。