単体的ドラーム理論

M が３角形分割を持つとして、単体複体に対して、単体的ドラーム理論を展開し、 Ω^{∗}(M) の p 次元コホモロジー群が、単体複体のコホモロジー群と一致すること、単体複体のコホモロジー群とホモロジー群は、双対空間になっていて、次元が等しいことを示す。これにより、 H_{DR}^{p}(M) ≅ R^{d} のとき、 M 上の p サイクル c_{1}, …, c_{d} が存在し、閉 p 形式 α に対して、 α = d β と書かれることと ∫_{c_{i}} α = 0 (i = 1, …, d) が同値となる。

まず、有限単体複体を定義しよう。

R^{N} の基底を {e_{1}, ⋯, e_{N}} とする。

頂点 {e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}}} (e_{i_{0}} < ⋯ < e_{i_{k}}) を頂点とする k 次元単体（これらの点の凸包）を ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ で表すことにする。すなわち、

⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ = {∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}e_{i_{ℓ}} |t_{i_{ℓ}} ≥ 0, ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}} = 1}

この単体の点 ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}e_{i_{ℓ}} に対し、 (t_{i_{0}}, …, t_{i_{k}}) をその点の重心座標という。

有限単体複体 K とはこれらの単体からなる有限集合で、一つの k 次元単体 ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ を含めば、その面となる k − 1 次元単体 ⟨e_{i_{0}} ⋯, e_{i_{ℓ−1}}e_{i_{ℓ+1}} ⋯, e_{i_{k}}⟩ (0 ≤ ℓ ≤ k) を含む（従って、次元の低い面をすべて含む）ものである。 |K| で K に属する単体の和集合を表す。 |K| の点は重心座標で表されている。

有限単体複体 K の k チェインとは、 K の単体の実数係数（有限）線形結合のことである。 k チェイン全体の集合を C_{k}(K) と書く。

C_{k}(K) = {∑ a_{i}σ_{i} | a_{i} ∈ R, σ_{i} は K の k 単体}

であり、 C_{k}(K) は、 k 単体の個数と同じの次元のベクトル空間となる。 k 単体 σ = ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩

に対し、その境界 ∂σ を ∂σ = ∑_{j=0}^{k}(−1)^{j}⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{j−1}}e_{i_{j+1}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ により定義する。これによ

り、境界準同型 ∂ : C_{k}(K) ⟶ C_{k−1}(K) が定義されるが、 ∂ ∘ ∂ = 0 となる。そこで

C_{∗}(K) : 0 ⟵^{∂} C_{0}(K) ⟵^{∂} C_{1}(K) ⟵^{∂} C_{2}(K) ⟵^{∂} ⋯

という複体が得られる。ここで H_{k}(K) = ker ∂/ im ∂ により実係数ホモロジー群が得られる。また、有限単体複体 K のコホモロジーは次で定義される。 C^{k}(K) を K の k 次元単体上の実数値関数のなすベクトル空間とする。 C^{k}(K) の元 c の

k 次元単体 ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ での値を c(i_{0}, …, i_{k}) と書くことにする。 C^{k}(K) の元 c, C_{k}(K) の元 ∑ a_{i}σ_{i} に対し、 c(∑ a_{i}σ_{i}) ∈ R を c(∑ a_{i}σ_{i}) = ∑ a_{i}c(σ_{i}) と定義すると、 C^{k}(K) の元は C_{k}(K) 上の線形形式である。これにより、 C^{k}(K) は C_{k}(K) の双対ベクトル空間である。

δ : C^{k}(K) ⟶ C^{k+1}(K) を

(δc)(i_{0}, …, i_{k+1}) = ∑_{ℓ=0}^{k+1}(−1)^{ℓ}c(i_{0}, …, i_{ℓ−1}, i_{ℓ+1}, …, i_{k+1})

で定義する。この定義は、 (δc)(σ) = c(∂σ) としたものである。そうすると ∂ ∘ ∂ = 0 から δ ∘ δ = 0 がわかる。有限単体複体 K のコホモロジーは、 K のコチェイン複体

C^{∗}(K) : 0 ⟶^{δ} C^{0}(K) ⟶^{δ} C^{1}(K) ⟶^{δ} C^{2}(K) ⟶^{δ} ⋯

のコホモロジーとして H^{∗}(K) = ker δ/ im δ で定義される。

ここで dim H_{k}(K) = dim H^{k}(K) が容易にわかる。すなわち、 C_{∗}(K) に単体から与えられる基底をとり、 C_{k}(K) は列ベクトルで表されるとする。境界準同型 ∂ を下の図のように行列 A, B で表すと、 AB は零行列である。

C_{k−1}(K) ⟵ C_{k}(K) ⟵ C_{k+1}(K)
A  B
C^{k−1}(K) ⟶ C^{k}(K) ⟶ C^{k+1}(K)

C^{k}(K) は C_{k}(K) 上の線形形式の空間だから行ベクトルで表されると考え、同じ A, B が行ベクトルに作用すると考えたものが δ である。行ベクトルを列ベクトルに同一視し, C^{k}(K) と C_{k}(K)

の間の積はユークリッドの内積とみる。 A の行ベクトルを a_{1}, …, a_{ℓ} とする (A = (a_{1} ; ⋮ ; a_{ℓ}))

と、 ker ∂ = ⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩^{⊥}, B の列ベクトルを b_{1}, …, b_{n} とする (B = (b_{1} ⋯ b_{n})) と、 im ∂ = ⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ であり、

⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ ⊂ ⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩^{⊥}

である。一方、 ker δ = ⟨b_{1}, …, b_{n}⟩^{⊥}, im δ = ⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩ であり、

⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩ ⊂ ⟨b_{1}, …, b_{n}⟩^{⊥}

である。この書き方で、 V = ⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩^{⊥} ∩ ⟨b_{1}, …, b_{n}⟩^{⊥} とすると、

⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩^{⊥}/⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ ≅ V ≅ ⟨b_{1}, …, b_{n}⟩^{⊥}/⟨^{t}a_{1}, …,^{t}a_{ℓ}⟩

すなわち、

ker ∂/ im ∂ ≅ ker δ/ im δ

さらに、 C^{k}(K) と C_{k}(K) の間の積を、行ベクトルを列ベクトルに同一視のもとで, ユークリッドの内積とみたが、そのユークリッドの内積の V 上への制限が、 H^{k}(K) と H_{k}(K) の間の積を引き起こし、これは、 C^{k}(K) と C_{k}(K) の間の積から引き起こされたものに一致する。

有限単体複体 K のドラーム複体 Ω^{∗}(K) を次のように定義する。

Ω^{k}(K) の元 ω とは K のすべての単体 σ から、その上の k 次微分形式 ω_{σ} への対応であり、 m 次元単体 σ = ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{m}}⟩ とその面となる m − 1 次元単体 τ = ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{ℓ−1}}e_{i_{ℓ+1}} ⋯ e_{i_{m}}⟩ に対し、 ω_{σ} の τ への制限が ω_{τ} と一致する (ω_{σ}|τ = ω_{τ}) ものである。

外微分 d : Ω^{k}(K) ⟶ Ω^{k+1}(K) について、 d ∘ d = 0 であり、有限単体複体 K のドラーム・コホモロジー H_{DR}^{∗}(K) = ker d / im d が定義される。

多様体 M の微分可能な単体分割とは、単体複体 K からの同相写像 φ : K ⟶ M で、各単体の上で微分可能なものとする。

チェック・ドラーム理論により、 Ω^{∗}(M) と C^{∗}(K) のコホモロジー群が同型であることがわかる。また、これから説明する単体的ドラーム理論から、 Ω^{∗}(K) と C^{∗}(K) のコホモロジー群が同型であることがわかる。

多様体 M が微分可能な単体分割 φ : K ⟶ M を持つとする。このとき、チェック・ドラーム理論が適用できる M の開被覆を次のようにとることができる。

K の各頂点 e_{i} に対し、 U_{i} を e_{i} のまわりの開星状体 star(e_{i}) とする。 U_{i_{0}···i_{k}} = ⋂_{ℓ=0}^{k} U_{i_{ℓ}} と

すると、 U_{i_{0}···i_{k}} について、従って φ(U_{i_{0}···i_{k}}) に対してポアンカレの補題が成立する。三角形分割をうまく取れば φ(U_{i_{0}···i_{k}}) は、ユークリッド空間と微分同相になるようにすることもできる。従って、 ⨁_{i_{1}<···<i_{p}} Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) についてチェック・ドラーム理論が成立する。

U_{i_{0}···i_{k}} が空でないのは ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ が K の k 次元単体であることと同値であり、開被覆 {U_{i}} = {star(e_{i})} についてのチェック複体は K のコチェイン複体 C^{∗}(K) と一致する。

単体的ドラーム理論の重要なところは単体上の積分が、有限単体複体 K のドラーム複体 Ω^{∗}(K) と K のコチェイン複体 C^{∗}(K) の関係を与えることである。

Δ^{k} = {(x_{1}, …, x_{k}) | 1 ≧ x_{1} ≧ ⋯ ≧ x_{k} ≧ 0} から σ = ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ への写像を σ と書く. σ は、

σ(x_{1}, …, x_{k}) = (1 − x_{1})e_{i_{0}} + (x_{1} − x_{2})e_{i_{1}} + ⋯ + (x_{k} − x_{k−1})e_{i_{k−1}} + x_{k}e_{i_{k}}

と定義する

ω ∈ Ω^{k}(K) と K の k 次元単体 σ = ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ に対し、 ∫_{σ} ω ∈ R を対応させる対応は K の k 次コチェインを与える。この写像を I : Ω^{∗}(K) ⟶ C^{∗}(K) と書く。ストークスの定理から I はコチェイン写像 (I ∘ d = δ ∘ I) となる。

定理 0.1 (単体的ドラームの定理)I は有限単体複体 K のドラームコホモロジー H_{DR}^{∗}(K) と K のコホモロジー H^{∗}(K) の間の同型写像を誘導する。

証明のためにコチェイン写像 s : C^{∗}(K) ⟶ Ω^{∗}(K) で、 I ∘ s = id_{C^{∗}(K)} を構成する。チェック・ドラーム理論により、 H_{DR}^{∗}(K) と H^{∗}(K) が同型であり、有限次元ベクトル空間となることがわかっているので I が同型写像を誘導することがわかる。

k 次元単体 ⟨e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}}⟩ に対し考える k 次微分形式は

ω_{i_{0}···i_{k}} = k! ∑_{ℓ=0}^{k}(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

とすると良い。この微分形式は ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ を含むすべての単体上で定義されている。係数が t_{i} について１次であることに注意する。

この ω_{i_{0}···i_{k}} に対して、 ∫_{⟨e_{i_{0}} ,··· ,e_{i_{k}} ⟩} ω_{i_{0}···i_{k}} = 1 となる。

s の構成を可能にしている事実は次の通りである。

s の像を ω_{i_{0}···i_{k}} を用いてつくると、これがコチェイン写像となる (d ∘s = s ∘ δ) ためには、 d ω_{i_{0}···i_{k}} = (k + 1)! dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} （この係数は t_{i} について零次）が ω_{j_{0}···j_{k+1}} の和にかかれる必要がある。特に、 k = 0 のとき、 d ω_{i} = dt_{i} について、そうでなければならない。ところが、 K の m 次元単体 σ = ⟨e_{j_{0}} ⋯ e_{j_{m}}⟩ 上で、

dt_{j_{ℓ}} = (∑_{a=0}^{m} t_{j_{a}}) dt_{j_{ℓ}} = ( ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}}) dt_{j_{ℓ}} + t_{j_{ℓ}} dt_{j_{ℓ}}

= (  ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}}) dt_{j_{ℓ}} + t_{j_{ℓ}} d(1 − ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}})
= ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}}(t_{j_{a}} dt_{j_{ℓ}} − t_{j_{ℓ}} dt_{j_{a}})

これは ω_{j_{a}j_{ℓ}} (j_{a} < j_{ℓ}) および ω_{j_{ℓ}j_{a}} (j_{ℓ} < j_{a}) の和である。実際

dt_{j_{ℓ}} = ∑_{{i_{0},i_{1}}−{i_{1}}={j_{ℓ}}} ω_{i_{0}i_{1}} − ∑_{{i_{0},i_{1}}−{i_{0}}={j_{ℓ}}} ω_{i_{0}i_{1}}

同様に d ω_{i_{0}···i_{k}} についても K の m 次元単体 σ = ⟨e_{j_{0}} ⋯ e_{j_{m}}⟩ ({i_{0}, ⋯, i_{k}} ⊂ {j_{0}, ⋯, j_{m}}, i_{0} < ⋯ < i_{k}, j_{0} < ⋯ < j_{m}) 上で、

(k + 1)! dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} = (k + 1)!((∑_{a=0}^{m} t_{j_{a}}) dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}})

= (k + 1)!(  ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}} t_{j_{a}} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} + ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}})

ここで、

t_{i_{ℓ}} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}
= t_{i_{ℓ}} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ d(1 − ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{ℓ}}} t_{j_{a}}) ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}
= − ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}} dt_{j_{a}} ∧ dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

従って、

(k + 1)! dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}
= (k + 1)!(  ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}} t_{j_{a}} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

− ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}} ∑_{ℓ=0}^{k}

(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}} dt_{j_{a}} ∧ dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}})
= (k + 1)! ∑_{{b_{0},···b_{k+1}}−{b_{u}}={i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{u} ∑_{v=0}^{k+1}
(−1)^{v}t_{b_{v}} dt_{b_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{b_{v−1}} ∧ dt_{b_{v+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{b_{k+1}}

ここで、 b_{0} < ⋯ < b_{k+1} とする。結局、次の関係式が成立する。

d ω_{i_{0}···i_{k}} = ∑_{{b_{0},··· ,b_{k+1}}−{b_{u}}={i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{u}ω_{b_{0}···b_{k+1}}

定理 0.1 の証明 s : C^{∗}(K) ⟶ Ω^{∗}(K) で、 I ∘ s = id_{C^{∗}(K)} を定義する。

c ∈ C^{0}(K) に対しては、対応する Ω^{0}(K) の元は |K| 上の関数であり、リーゾナブルな取り方は、頂点 e_{i} で c(i) をとる関数を線形に拡張したものである。すなわち、 K の m 次元単体 σ = ⟨e_{j_{0}}, ⋯, e_{j_{m}}⟩ 上で、

s(c)_{σ} = ∑_{ℓ=0}^{m} c(j_{ℓ})t_{j_{ℓ}}

これについて、外微分をとると

\begin{aligned}& ds(c)_{σ} = ∑_{ℓ=0}^{m} c(j_{ℓ}) dt_{j_{ℓ}} = ∑_{ℓ=0}^{m} c(j_{ℓ})(  ∑_{\{i_{0},i_{1}\}−\{i_{1}\}=\{j_{ℓ}\}} ω_{i_{0}i_{1}} − ∑_{\{i_{0},i_{1}\}−\{i_{0}\}=\{j_{ℓ}\}} ω_{i_{0}i_{1}}) \\ = & ∑_{\{i_{0},i_{1}\}⊂\{j_{0},··· ,j_{m}\}}(c(i_{0})ω_{i_{0}i_{1}} − c(i_{1})ω_{i_{0}i_{1}}) = ∑_{\{i_{0},i_{1}\}⊂\{j_{0},··· ,j_{m}\}}(c(i_{0}) − c(i_{1}))ω_{i_{0}i_{1}} \end{aligned}

ここで i_{0} < i_{1} とする。これを δc の像にする必要があるが、それは δc(i_{0}, i_{1}) = c(i_{0}) − c(i_{1}) であるから、 c^{1} ∈ C^{1}(K) に対し、

s(c^{1})_{σ} = ∑_{{i_{0},i_{1}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}} c^{1}(i_{0}, i_{1})ω_{i_{0}i_{1}}

とすればよい。

一般に c ∈ C^{k}(K) に対し、次のように s を定義する。 K の m 次元単体 σ = ⟨e_{j_{0}} ⋯ e_{j_{m}}⟩ (m ≥ k) 上で、

s(c)_{σ} = ∑_{{i_{0},··· ,i_{k}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}} c(i_{0}, ⋯, i_{k})ω_{i_{0}···i_{k}}

これは Ω^{k}(K) の元となる。 s がコチェイン写像であること (d ∘s = s ∘ δ) が次のように確かめられる

\begin{matrix}d s(c)_{σ} = & ∑_{\{i_{0},··· ,i_{k}\}⊂\{j_{0},··· ,j_{m}\}} c(i_{0}, ⋯, i_{k}) d ω_{i_{0}···i_{k}} \\ = & ∑_{\{i_{0},··· ,i_{k}\}⊂\{j_{0},··· ,j_{m}\}} c(i_{0}, ⋯, i_{k}) ∑_{\{b_{0},···b_{k+1}\}−\{b_{u}\}=\{i_{0},··· ,i_{k}\}}(−1)^{u}ω_{b_{0}···b_{k+1}} \\ = & ∑_{\{b_{0},···b_{k+1}\}⊂\{j_{0},··· ,j_{m}\}}(∑_{u=0}^{k+1}(−1)^{u}c(b_{0}, ⋯, b_{u−1}, b_{u+1}, ⋯ b_{k+1}))ω_{b_{0}···b_{k+1}} \\ = & ∑_{\{b_{0},···b_{k+1}\}⊂\{j_{0},··· ,j_{m}\}}(δc)(b_{0}, ⋯ b_{k+1})ω_{b_{0}···b_{k+1}} = s(δ(c))_{σ} \end{matrix}

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