２００５年度幾何学 III 演習問題 １２月６日

復習問題．ベクトル空間 V, W に対し双１次形式 B : V × W ⟶ R が定義され次を満たすとする。

∀v ∈ V, v ≠ 0 ならば∃w ∈ W, B(v, w) ≠ 0

V は有限次元とし、基底を e_{1}, …, e_{k} とするとき、 f_{1}, …, f_{k} ∈ W で (B(e_{i}, f_{j}))_{i,j=1,...,k} が正則行列となるものが存在することを示せ。

問題１． (1) 連結多様体 M 上の微分形式 α が、任意の閉曲線 γ : [0, 1] ⟶ M (γ(0) = γ(1)) に対し、 ∫_{γ} α = 0 を満たすとする。このとき、 α は M 上の関数 f の全微分となる (α = df) ことを示せ。

(2) 連結多様体 M 上の閉微分 1 形式 α のコホモロジー類 [α] ≠ 0 とすると、ある閉曲線 γ に対して、 ∫_{γ} α ≠ 0 となることを示せ。

(3) コンパクト連結多様体 M の１次元ドラームコホモロジー群が H_{DR}^{k}(M) ≅ R^{k} とする。閉曲線 γ_{1}, …, γ_{k} が存在して、閉微分 1 形式 α が ∫_{γ_{i}} α = 0 を満たせば、 α は M 上の関数 f の全微分となる (α = df) ことを示せ。

定義 [標準 n 単体] Δ^{n} = {(x_{1}, ⋯, x_{n}) ∈ R^{n} | 1 ≧ x_{1} ≧ ⋯ ≧ x_{n} ≧ 0}

[標準 n 単体上の積分] ∫_{Δ^{n}} fdx_{1} ∧⋯∧dx_{n} = ∫_{x_{1}=0}^{1}(⋯(∫_{x_{k}=0}^{x_{k−1}}(⋯(∫_{x_{n}=0}^{x_{n−1}} f(x_{1}, …, x_{n})dx_{n}) ⋯)dx_{k}) ⋯)dx_{1}

問題２． ∫_{Δ^{n}} dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} を求めよ。

定義 [単体からの微分可能写像 σ : Δ^{n} ⟶ M に沿う積分] M 上の微分 n 形式 α に対して、 σ に沿う積分を ∫_{σ} α = ∫_{Δ^{n}} σ^{∗}α で定義する。

[チェイン上の積分] 写像の有限形式和 ∑_{i} a_{i}σ_{i} に対して、 ∫_{∑_{i} a_{i}σ_{i}} α = ∑_{i} a_{i} ∫_{Δ^{n}} σ_{i}^{∗}α とおく。

[境界] k = 0, …, n に対して、 ε_{k} : Δ^{n−1} ⟶ Δ^{n} を次で定義する。

\begin{matrix}ε_{0}(x_{1}, …, x_{n−1}) = & (1, x_{1}, …, x_{n−1}), \\ ε_{k}(x_{1}, …, x_{n−1}) = & (x_{1}, …, x_{k}, x_{k}, …, x_{n−1}) (0 < k < n), \\ ε_{n}(x_{1}, …, x_{n−1}) = & (x_{1}, …, x_{k}, …, x_{n−1}, 0) \end{matrix}

このとき、 ∂σ = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}σ ∘ ε_{k}

問題３． {(u, v) ∈ R^{2} | w ≧ u ≧ v ≧ 0} 上の関数 f(u, v) の積分について次が成立する。

∫_{{w≧u≧v≧0}} f(u, v)dudv = ∫_{u=0}^{w} ( ∫_{v=0}^{u} f(u, v)dv)du = ∫_{v=0}^{w} ( ∫_{u=v}^{w} f(u, v)du)dv

これを使って、 α_{k} = (−1)^{k−1}f_{k}dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{k−1} ∧ dx_{k+1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} に対し、

∫_{Δ^{n}} dα_{k} = ∫_{(−1)^{k−1}ε_{k−1}+(−1)^{k}ε_{k}} α_{k} = ∫_{∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}ε_{i}} α_{k}

を示せ。このことから、 σ : Δ^{n} ⟶ M, M 上の微分 n − 1 形式 α に対するストークスの定理 ∫_{σ} dα = ∫_{∂σ} α が従う。

ヒント： F (x_{1}, ⋯, x_{k+1}) = ∫_{x_{k+2}=0}^{x_{k+1}}⋯∫_{x_{n}=0}^{x_{n−1}} \frac{∂f_{k}}{∂x_{k}} (x_{1}, …, x_{n})dx_{n} ⋯ dx_{k+2} について、

∫_{x_{k}=0}^{x_{k−1}} ( ∫_{x_{k+1}=0}^{x_{k}} F (x_{1}, ⋯, x_{k+1})dx_{k+1})dx_{k} = ∫_{x_{k+1}=0}^{x_{k−1}} ( ∫_{x_{k}=x_{k+1}}^{x_{k−1}} F (x_{1}, ⋯, x_{k+1})dx_{k})dx_{k+1}

定義 [有限単体複体] R^{N} の基底を {e_{1}, ⋯, e_{N}} とする。頂点 {e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}}} (e_{i_{0}} < ⋯ < e_{i_{k}}) を頂点とする k 次元単体（これらの点の凸包）を ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ で表す。すなわち、

⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ = {∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}e_{i_{ℓ}} |t_{i_{ℓ}} ≥ 0, ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}} = 1}

この単体の点 ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}e_{i_{ℓ}} に対し、 (t_{i_{0}}, …, t_{i_{k}}) をその点の重心座標という。

[有限単体複体] 有限単体複体 K とはこれらの単体からなる有限集合で、一つの k 次元単体 ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ をふくめば、その面となる k−1 次元単体 ⟨e_{i_{0}} ⋯, e_{i_{ℓ−1}}e_{i_{ℓ+1}} ⋯, e_{i_{k}}⟩ (0 ≤ ℓ ≤ k) を含む（従って、次元の低い面をすべて含む）ものである。 |K| で K に属する単体の和集合を表す。 |K| の点は重心座標で表されている。

問題４． σ : Δ^{k} ⟶ ⟨e_{i_{0}} ⋯ e_{i_{k}}⟩ を

σ(x_{1}, …, x_{k}) = (1 − x_{1})e_{i_{0}} + (x_{1} − x_{2})e_{i_{1}} + ⋯ + (x_{k−1} − x_{k})e_{i_{k−1}} + x_{k}e_{i_{k}}

で定義する。 R^{N} 上の微分 k 形式

ω_{i_{0}···i_{k}} = k! ∑_{ℓ=0}^{k}(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

に対し、 ∫_{σ} ω_{i_{0}···i_{k}} を求めよ。