２００５年度幾何学 III 演習問題 １１月２９日

定義 [チェック・ドラーム複体] {U_{i}}_{i=1,...,N} をコンパクト n 次元多様体 M の開被覆とする。 1 ≦ i_{0} < i_{1} < ⋯ < i_{k} ≦ N に対し、 U_{i_{0}i_{1}···i_{k}} = U_{i_{0}} ∩ U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}} とおいて、次の可換図式をチェック・ドラーム複体と呼ぶ。

↑ d ↑ d ↑ d ↑ d
0 → Ω^{3}(M) \underrightarrow{r} ⨁_{i} Ω^{3}(U_{i}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}} Ω^{3}(U_{i_{0}i_{1}}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}} Ω^{3}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) \underrightarrow{δ}
↑ d  ↑ d  ↑ d  ↑ d
0 → Ω^{2}(M) \underrightarrow{r} ⨁_{i} Ω^{2}(U_{i}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}} Ω^{2}(U_{i_{0}i_{1}}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}} Ω^{2}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) \underrightarrow{δ}
↑ d  ↑ d  ↑ d  ↑ d
0 → Ω^{1}(M) \underrightarrow{r} ⨁_{i} Ω^{1}(U_{i}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}} Ω^{1}(U_{i_{0}i_{1}}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}} Ω^{1}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) \underrightarrow{δ}
↑ d  ↑ d  ↑ d  ↑ d
0 → Ω^{0}(M) \underrightarrow{r} ⨁_{i}Ω^{0}(U_{i}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}} Ω^{0}(U_{i_{0}i_{1}}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}} Ω^{0}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) \underrightarrow{δ}
↑ ι  ↑ ι  ↑ ι
⨁_{i}R(U_{i}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}} R(U_{i_{0}i_{1}}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}} R(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) \underrightarrow{δ}
↑  ↑  ↑
0  0  0

ここで、縦向きの準同型について Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) ⟶ Ω^{p+1}(U_{i_{0}···i_{k}}) は外微分 d である。また、

⨁_{i_{0}<···<i_{k}} R(U_{i_{0}···i_{k}}) は {(U_{i_{0}···i_{k}})}_{i_{0}<···<i_{k}} を基底とする実ベクトル空間で、 R(U_{i_{0}···i_{k}}) ⟶ Ω^{0}(U_{i_{0}···i_{k}})

は定数関数の埋め込み ι である。また、横向きの準同型については、 Ω^{p}(M) ⟶ Ω^{p}(U_{i}) は制限 r_{i} であり、 r = ⊕r_{i} と定義される。また、 k + 1 個の添え字 i_{0} < ⋯ < i_{k} とそれに現れる i_{s} に対し、 Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{s−1}i_{s+1}···i_{k}}) ⟶ Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) は制限 r_{i_{0}···i_{k}}^{i_{0}···i_{s−1}i_{s+1}···i_{k}} の (−1)^{s} 倍であり、 δ = ⊕ ∑(−1)^{s}r_{i_{0}···i_{k}}^{i_{0}···i_{s−1}i_{s+1}···i_{k}} と定義される。

通常、条件\underline{“任意の U_{i_{0}i_{1}···i_{k}} は R^{n} または空集合と微分同相となる”}を満たすとする。このとき、ポアンカレの補題により、縦向きの列は完全列である。

問題１． p を固定する。 f^{(k)} ∈ ⨁_{i_{0}<···<i_{k}} Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) に対し、 f^{(k)} の Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) 成分を

f^{(k)}|U_{i_{0}···i_{k}} あるいは f_{i_{0}···i_{k}}^{(k)} と書く。

(1) (δf^{(k)})|U_{i_{0}···i_{k+1}} = ∑_{j=0}^{k+1}(−1)^{j}f_{i_{0}···i_{j−1}i_{j+1}···i_{k+1}}^{(k)}|U_{i_{0}···i_{k+1}} を示せ。

(2) δ ∘ δ = 0 を示せ。

問題２．開被覆 {U_{i}}_{1=1,···N} に従属する 1 の分割を {λ_{i}} とする (suppλ_{i} ⊂ U_{i})。 f^{(k+1)} ∈

⨁_{i_{0}<···<i_{k+1}} Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k+1}}) に対して、 Sf^{(k+1)} ∈ ⨁_{i_{0}<···<i_{k}} Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) を

(Sf^{(k+1)})|U_{i_{0}···i_{k}} = ∑_{m} λ_{m}f_{mi_{0}···i_{k}}^{(k+1)} と定義する。ただし、 m が i_{0}, …, i_{k} のどれかと一致

するときは f_{mi_{0}···i_{k}}^{(k+1)} = 0 とし、 i_{j−1} < m < i_{j} のとき、 f_{mi_{0}···i_{k}}^{(k+1)} = (−1)^{j}f_{i_{0}···i_{j−1}mi_{j}···i_{k}}^{(k+1)} とする。また、 λ_{m}f_{mi_{0}···i_{k}} は Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) の元と考える。

(1) δ(Sf^{(k)}) + S(δf^{(k)}) = f^{(k)} を示せ。（例えば、 k = 2 に対して示せ。）

(2) (1) を用いてチェック・ドラーム複体の 0 ⟶ Ω^{p}(M) から始まる横の列は完全列であることを示せ。

以後、条件\underline{“任意の U_{i_{0}i_{1}···i_{k}} は R^{n} または空集合と微分同相となる”}を満たすとする。このとき、ポアンカレの補題により、縦向きの列は完全列である。

問題３．コンパクト多様体 M の開被覆 U = {U_{i}}_{i=1,...,N} が、 “任意の U_{i_{0}i_{1}···i_{k}} は R^{n} または空集合と微分同相” という条件を満たすとき、チェック複体

⨁_{i}R(U_{i}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}} R(U_{i_{0}i_{1}}) \underrightarrow{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}} R(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) \underrightarrow{δ} ⋯

の p 次コホモロジー Ȟ^{p}(M, U) は、 p 次ドラーム・コホモロジーと同型であることを示せ。（p = 0, 1, 2, 3 に対して示せ。 )