２００５年度幾何学 III 演習問題 １１月２２日

復習問題．単位球面 S^{2} ⊂ R^{3} の点 p_{N} = (0, 0, 1), p_{S} = (0, 0, −1) から R^{2}×{0} へのステレオグラフィック・プロジェクション π_{N} : S^{2}\{p_{N}} ⟶ R^{2}, π_{S} : S^{2}\{p_{S}} ⟶ R^{2} は次で定義される。

\begin{matrix}π_{N}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (v_{1}, v_{2}) = ( \frac{x_{1}}{1 − x_{3}} , \frac{x_{2}}{1 − x_{3}} ) \\ π_{S}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (u_{1}, u_{2}) = ( \frac{x_{1}}{1 + x_{3}} , \frac{x_{2}}{1 + x_{3}} ) \end{matrix}

(1) π_{N}, π_{S} の逆写像を求めよ。

(2) {(S^{2} \ {p_{N}}, π_{N}), (S^{2} \ {p_{S}}, π_{S})} を S^{2} の座標近傍系とするとき、座標変換を計算せよ。

問題１． (1) R^{3} 上の微分形式 ω = x_{1}dx_{2} ∧ dx_{3} − x_{2}dx_{1} ∧ dx_{3} + x_{3}dx_{1} ∧ dx_{2} に対し、 (π_{S}^{−1})^{∗}(ω|S^{2}) を計算せよ。

(2) R^{3} \ \{(0, 0)\} × R 上の微分形式 α = \frac{x_{1}dx_{2} − x_{2}dx_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} に対し、 dα = 0 を示せ。 R^{2} \ {(0, 0)} 上の微分形式 (π_{S}^{−1})^{∗}(α|S^{2} \ {p_{N}, p_{S}}) を計算せよ。

(3) γ : [0, 1] ⟶ R^{3} を γ(t) = (cos(2πt), sin(2πt), 0) とするとき、 ∫_{γ} α を計算せよ。

(4) α_{1} = \frac{1 − x_{3}}{2} α は S^{2}\\{p_{S}\} 上の C^{∞} 級微分形式であることを示せ。同様に −α_{2} =

\frac{1 + x_{3}}{2} α は S^{2} \ \{p_{N}\} 上の C^{∞} 級微分形式であり、 S^{2} \ \{p_{N}, p_{S}\} 上で α = α_{1} − α_{2}

となる。

問題２． M_{1} = S^{2} \ {p_{S}}, M_{2} = S^{2} \ {p_{N}} とおく。マイヤー・ビエトリス完全列

⋯  ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} H^{p−1}(M_{12})
⟶^{Δ^{∗}} H^{p}(S^{2}) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})} H^{p}(M_{1}) ⊕ H^{p}(M_{2}) ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} H^{p}(M_{12})
⟶^{Δ^{∗}} H^{p+1}(S^{2}) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})}  ⋯

において

⟶ H_{DR}^{1}(M_{1}) ⊕ H_{DR}^{1}(M_{2}) ⟶ H_{DR}^{1}(M_{12}) ⟶ H_{DR}^{2}(S^{2}) ⟶ 0

は次と同型である。

⟶  0 ⊕ 0  ⟶  R  ⟶ H_{DR}^{2}(S^{2}) ⟶ 0

問題１の α は問題１ (2) により閉形式で、問題１ (3) により H_{DR}^{1}(M_{12}) の生成元となる。問題１を用いて Δ^{∗}[α|M_{12}] を代表する微分２形式を求めよ。

問題３． n 次元コンパクト多様体 M 上のモース関数をとると、次のことがわかる。 M の開部分集合 N_{1}, …, N_{k} で ∅ = N_{0} ⊂ N_{1} ⊂ ⋯ ⊂ N_{k} = M, N_{j} = N_{j−1} ∪ B_{j} (0 < j ≦ k). ここで, B_{j} は n 次元開球体 B^{n} と微分同相で, N_{j−1} ∩ B_{j} は空集合または m_{j} 次元の球面 S^{m_{j}} と n − m_{j} 次元開球体 B^{n−m_{j}} の直積 B^{n−m_{j}} × S^{m_{j}} に微分同相である (0 ≦ m_{j} ≦ n − 1). このことから、 M のドラームコホモロジー群は有限次元ベクトル空間であることを示せ。