２００５年度幾何学 III 演習問題 １１月８日

定義 [多様体上の微分 p 形式] M 上の p 形式 α とは、 {(U_{i}, φ_{i})} を座標近傍系としたとき、各 φ(U_{i}) 上の C^{∞} 級微分 p 形式 α^{(i)} で次を満たす物のことである。ここで、 φ_{ij} = φ_{i} ∘ φ_{j}^{−1} である。

α^{(j)}|φ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) = φ_{ij}^{∗}α^{(i)}

定義 [多様体上の微分 p 形式] M の各点 x に余接空間 T_{x}^{∗}M の p 次外積の空間 ⋀^{p} T_{x}^{∗}M の元を各座標近傍 (U, φ = (x_{1}, …, x_{n})) 上で dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}} の係数 f_{i_{1}···i_{p}} が C^{∞} 級関数となるように対応させる対応を、 M 上の C^{∞} 級微分 p 形式と呼ぶ。

定義 [ドラーム・コホモロジー] H_{DR}^{p}(M) = ker(d : Ω^{p}(M) → Ω^{p+1}(M))/im(d : Ω^{p−1}(M) → Ω^{p}(M))

ker(d : Ω^{p}(M) → Ω^{p+1}(M)) の元を閉 p 形式、 im(d : Ω^{p−1}(M) → Ω^{p}(M)) の元を完全 p 形式と呼ぶ。

問題１． F : M ⟶ N を m 次元多様体 M から n 次元多様体 N への C^{∞} 級写像とする。引き戻し F^{∗} : Ω^{p}(N) ⟶ Ω^{p}(M) は、準同型写像 F^{∗} : H_{DR}^{p}(N) ⟶ H_{DR}^{p}(M) を引き起こすことを示せ。

問題２．

(1) 多様体 M 上の閉 p 形式と閉 q 形式の外積は、閉 p + q 形式であることを示せ。 (2) 外積 ∧ : Ω^{p}(M) × Ω^{q}(M) ⟶ Ω^{p+q}(M) はドラーム・コホモロジー群の上の外積 ∧ : H_{DR}^{p}(M) × H_{DR}^{q}(M) ⟶ H_{DR}^{p+q}(M) を引き起こすことを示せ。

問題３．多様体 M に対し、 [0, 1]×M 上の微分形式を考える。座標近傍 (U, φ) に対し、 I_{a}^{(U)} : Ω^{p}([0, 1]×φ(U)) ⟶ Ω^{p−1}([0, 1]×φ(U)) を１１月１日の演習問題と同様に定義する。\underline{I_{a}^{(U)} は I_{a} : Ω^{p}([0, 1] × M) ⟶ Ω^{p−1}([0, 1] × M) を定義することを示せ。} すなわち、得られる [0, 1] × M 上の p − 1 形式の表示が座標近傍を取り替えと矛盾しないことを示せ。この結果、１１月１日の問題２により、この I_{a} は dI_{a}(α) + I_{a}(dα) = α − π^{∗}(ι_{a}^{∗}α) を満たす。ただし、写像 π : [0, 1] × M ⟶ M は π(x_{0}, x) = x で定義し、 a ∈ [0, 1] に対し、写像 ι_{a} : M ⟶ [0, 1] × M は ι_{a}(x) = (a, x) と定義する。

問題４． π : [0, 1] × M ⟶ M および ι_{a} : M ⟶ [0, 1] × M がドラーム・コホモロジー群に誘導する写像

π^{∗} : H_{DR}^{p}(M) ⟶ H_{DR}^{p}([0, 1] × M), ι_{a}^{∗} : H_{DR}^{p}([0, 1] × M) ⟶ H_{DR}^{p}(M)

について、 ι_{a}^{∗} ∘ π^{∗} = id_{H_{DR}^{p}(M)}, π^{∗}ι_{a}^{∗} = id_{H_{DR}^{p}([0,1]×M)} を示せ。この結果、 ι_{0}^{∗} = (π^{∗})^{−1} = ι_{1}^{∗} となる。