２００５年度幾何学 III 演習問題 １０月１８日

定義 [微分 p 形式の直方体からの写像に沿う積分] κ : [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{p}, b_{p}] ⟶ U に対し、

\begin{aligned}& ∫_{κ} ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}...i_{p}}dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ x_{i_{p}} \\ = & ∫_{[a_{1},b_{1}]×···×[a_{p},b_{p}]} ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}...i_{p}}(κ(t_{1}, …, t_{p})) det ( \begin{matrix}\frac{∂κ_{i_{1}}}{∂t_{1}} & ⋯ & \frac{∂κ_{i_{1}}}{∂t_{p}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂κ_{i_{p}}}{∂t_{1}} & … & \frac{∂κ_{i_{p}}}{∂t_{p}} \end{matrix} ) dt_{1} ⋯ dt_{p} \end{aligned}

問題１． n 次元ユークリッド空間の開集合 U 上の微分 p 形式 α = ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}···i_{p}}dx_{i_{1}} ∧

⋯ ∧ dx_{i_{p}} の外微分 dα に対し、 p + 1 次元直方体 [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{p+1}, b_{p+1}] から U への C^{1} 級写像 κ : [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{p+1}, b_{p+1}] ⟶ U に沿う積分が以下のような p 次元直方体から U への写像に沿う積分の和となることを示せ。

∫_{κ} dα = ∑_{q=1}^{p+1}(−1)^{q−1}( ∫_{κ(··· ,b_{q},···)} α − ∫_{κ(··· ,a_{q},···)} α)

定義 [微分 p 形式の引き戻し] m 次元ユークリッド空間の開集合 V から n 次元ユークリッド空間の開集

合 W への C^{∞} 級写像 φ : V ⟶ W と W 上の微分 p 形式 α = ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}···i_{p}}dy_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dy_{i_{p}} に

対し、

φ^{∗}α = ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}···i_{p}} ∘ φ dφ_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dφ_{i_{p}}

を α の φ による引き戻しとよぶ。ただし、 dφ_{i_{j}} = ∑_{k=1}^{m} \frac{∂φ_{i_{j}}}{∂x_{k}} dx_{k} （全微分）である。

問題２． R^{3} の座標を (x, y, z) とし、 R^{3} 上の微分１形式 α = dz + xdy を考える。 (1) 写像 F : R^{3} ⟶ R^{3} を F (x, y, z) = (x, y, z − \frac{xy}{2} ) で定義するとき、 F^{∗}α を計算せよ。

(2) F のヤコビ行列式を計算せよ。 α ∧ dα, F^{∗}α ∧ dF^{∗}α を計算せよ。

(3) φ_{t}(x, y, z) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t, z) とするとき、 φ_{t}^{∗}F^{∗}α を求めよ。 (4) 写像 G, H : R^{3} ⟶ R^{3} を

G(x, y, z) = (x, y, z − xy), H(x, y, z) = (x, y cos x − z sin x, y sin x + z cos x)

で定義するとき、 H^{∗}G^{∗}α を計算せよ。

(5) G ∘ H のヤコビ行列式を計算せよ。 H^{∗}G^{∗}α ∧ dH^{∗}G^{∗}α を計算せよ。

問題３． m 次元ユークリッド空間の開集合 V から n 次元ユークリッド空間の開集合 W への C^{∞} 級写像 φ : V ⟶ W と W 上の微分 p 形式 α, 微分 q 形式 β に対し、 φ^{∗}(α ∧ β) = φ^{∗}α ∧ φ^{∗}β を示せ。

問題４．ユークリッド空間の開集合 U ⊂ R^{ℓ}, V ⊂ R^{m}, W ⊂ R^{n}, C^{∞} 級写像 ψ : U ⟶ V, φ : V ⟶ W と W 上の微分 p 形式 α に対し、 ψ^{∗}φ^{∗}α = (φ ∘ ψ)^{∗}α を示せ。