２００５年度幾何学 III 演習問題 １０月１１日

復習問題．複素平面 C の開集合 U 上で定義された複素数値関数 f(z) を考える。すなわち、 z = x + y\sqrt{−1} として、２変数関数 u(x, y), v(x, y) があって

f(z) = u(x, y) + v(x, y)\sqrt{−1}

f が微分可能であるとき、次で定義される全微分は複素数値１次微分形式である。

df = \frac{∂u}{∂x}dx + \frac{∂u}{∂y}dy + \frac{∂v}{∂x}\sqrt{−1}dx + \frac{∂v}{∂y} \sqrt{−1}dy

(1) df が各点 z 上で, dz = dx + \sqrt{−1}dy 複素数倍となるための条件は何か。

(2) 複素数値１次微分形式 fdz が閉微分形式となる条件は何か。

(3) 複素数値１次微分形式 fdz が閉微分形式のときこれは完全微分形式か。

定義 [微分 p 形式] n 次元ユークリッド空間の開集合 U 上の連続関数 f_{i_{1}...i_{p}}(x) (1 ≦ i_{1} < ⋯ < i_{p} ≦ n)

に対して、 ∑_{1≦i_{1}<···<i_{p}≦n} f_{i_{1}...i_{p}}dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}} を、 U 上の微分 p 形式と呼ぶ。

定義 [微分 p 形式と微分 q 形式の外積]

( ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}...i_{p}}dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}}) ∧ ( ∑_{j_{1}<···<j_{q}} g_{j_{1}...j_{q}} dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{q}} )

= ∑_{i_{1}<···<i_{p}, j_{1}<···<j_{q}} f_{i_{1}...i_{p}}g_{j_{1}...j_{q}} dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}} ∧ dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{q}}

ここで、 i_{1}, …, i_{p}, j_{1}, …, j_{q} のなかに同じものがあれば dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}} ∧ dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{q}} = 0 とし、これらがすべて異なり、これを並べ替えたものを k_{1}, …, k_{p+q} (k_{1} < ⋯ < k_{p+q}) とするとき、

sign (\begin{matrix}i_{1} ⋯ i_{p}j_{1} ⋯ j_{q} \\ k_{1} · · · · · · k_{p+q} \end{matrix}) を置換の符号として、

dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}} ∧ dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{q}} = sign (\begin{matrix}i_{1} ⋯ i_{p}j_{1} ⋯ j_{q} \\ k_{1} · · · · · · k_{p+q} \end{matrix}) dx_{k_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{k_{p+q}}

とする。

問題１． U 上の微分 p 形式 α と微分 q 形式 β に対し、 β ∧ α = (−1)^{pq}α ∧ β を示せ。

定義 [微分 p 形式の外微分]

d( ∑_{1≦i_{1}<···<i_{p}≦n} f_{i_{1}...i_{p}}dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}}) = ∑_{1≦i_{1}<···<i_{p}≦n} df_{i_{1}...i_{p}} ∧ dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{p}}.

ここで、 df_{i} は f_{i} の全微分である。

問題２． U 上の微分 p 形式 α と微分 q 形式 β に対し、 d(α∧β) = dα∧β+(−1)^{p}α∧dβ を示せ。