1998 年度数理科学 IV 理科 I,II,III 類２年生向け月曜日２限担当坪井

１９９８年６月２９日

演習問題

問題１次の行列の固有値を求めよ。行列はユニタリ行列で対角化可能かどうか調べよ。

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ −1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}3 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} )

問題２ A を次の行列の一つとするとき、以下の問いに答えよ。

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 6 & −11 & 6 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 32 & −16 & −16 & 8 & 2 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ −4 & 0 & −5 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ −4 & 0 & −4 & 0 \end{matrix} )

(1) 行列 A のジョルダン標準形 J をもとめよ。

(2) A = P JP^{−1}とする行列 P をひとつ求めよ。

(3) E を単位行列とするとき xE − A の単因子を求めよ。

(4) (Exp tA)P = P (Exp tJ) に注意して、常微分方程式\frac{d}{dt}v = Av の初期値が P の各列ベクトルになる解を求めよ。

問題３次の常微分方程式の解の空間の基底を求めよ。

(1) \frac{d^{3}x}{dt^{3}} − 6\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 11\frac{dx}{dt} − 6x = 0

(2) \frac{d^{5}x}{dt^{5}} − 2\frac{d^{4}x}{dt^{4}} − 8\frac{d^{3}x}{dt^{3}} + 16\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 16\frac{dx}{dt} − 32x = 0

(3) \frac{d^{4}x}{dt^{4}} + 5\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 4x = 0

(4) \frac{d^{4}x}{dt^{4}} + 4\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 4x = 0