1998 年度数理科学 IV

理科 I,II,III 類２年生向け月曜日２限担当坪井

１９９８年５月１８日

演習問題

問題１ (1) ３個の実数の組 (v_{1}, v_{2}, v_{3}) で v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0 を満たすもの全体を V とする。 V の基底を一つ定めよ。

(2) L : V ⟶ V を L((v_{1}, v_{2}, v_{3})) = (v_{2}, v_{3}, v_{1}) で定める。 (1) でとった基底に対して、 L を行列で表示せよ。

(3) L で不変な V の部分空間は何か？

問題２問題１の (1)(2)(3) を３個の複素数の組 (v_{1}, v_{2}, v_{3}) で v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0 を満たすもの全体を W に対して考えよ。

問題３問題１、問題２を和が 0 となる４個あるいは５個の実数、複素数の組について考えよ。

問題４３次元ユークリッド空間内にある正四面体を考え、その頂点を P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}とする。頂点と辺のみからなる図形を考えそこに流れる電流の状態を考える。 i_{01} を辺 P_{0}P_{1}を P_{1}から P_{0}に流れる電流の強さとし、 i_{02}, i_{03}, i_{12}, i_{13}, i_{23}を同様に定義する。

(1) i_{01}, i_{02}, i_{03}, i_{12}, i_{13}, i_{23}の満たすべき関係式を求めよ。

(2) (1) で定まるベクトル空間 V の基底を一つ与えよ。

(3) P_{0}P_{1}の中点と P_{2}P_{3}の中点とを結ぶ直線の周りの１８０度回転を L とする。ベクトル空間 V への L の作用はどのようなものか？ (4) ベクトル空間 V の L で不変な部分空間を求めよ。