1998 年度数理科学 I 演習問題理科 I 類２年生３組、２５−２８組向け水曜日４限担当坪井

１９９８年７月１日

問題１３次元ユークリッド空間 R^{3} 上の次の微分 1 次形式について、それらがある関数の外微分になっているかどうかを判定せよ。

(1) α_{1} = x^{2} d y + 2y d x + z^{3} d z

(2) α_{2} = x d x + y d y + z d z

(3) α_{3} = x d y − y d x + z d z

問題２原点を除く２次元平面上で定義された次の微分１次形式ωを考える。

ω = −\frac{y}{x^{2} + y^{2}} d x + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} d y

曲線 γ_{0} = \{(x, y)|x^{2} + y^{2} = 1\}, γ_{1} = \{(x, y)|(x − 2)^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1\},

γ_{2} = \{(x, y)|\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{81} = 1\} に、それぞれ反時計まわりの向きを与える。

(1) 積分∫_{γ_{0}} ω = ∫_{γ_{2}} ωを示せ。

(2) 積分∫_{γ_{1}} ωを求めよ。

(3) 積分∫_{γ_{2}} ωを求めよ。