1998 年度数理科学 I 積分の復習の演習問題理科 I 類２年生３組、２５−２８組向け水曜日４限担当坪井

１９９８年６月１０日

問題 1. 次の積分を求めよ。

(1) ∫ ∫_{x^{2}≦y≦1} y d x d y

(2) ∫ ∫_{x^{2}+y^{2}≦1}(x^{2} − y^{2}) d x d y

問題 2. 次の曲線をサイクロイドと呼ぶ。

x = t − sin t, y = 1 − cos t (0 ≦ t ≦ 2π)

(1) サイクロイドと x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) サイクロイドを x 軸のまわりに回転させた図形の体積を求めよ。

問題 3. xz-平面上の x > 0 の領域にある図形 A に対し、 A の重心は

(\frac{∫ ∫_{A} x d x d z}{∫ ∫_{A} d x d z} , \frac{∫ ∫_{A} z d x d z}{∫ ∫_{A} d x d z} )

なる点として定義される。 A を z-軸を中心として回転して得られる図形の体積 V は A の面積と重心の軌跡の長さの積に等しいことを示せ。