1998 年度数理科学 I 積分の復習理科 I 類２年生３組、２５−２８組向け水曜日４限担当坪井

１９９８年６月１０日

\underline{平面の有界部分集合の面積、３次元空間の有界部分集合の体積}

1. 辺の長さが１の正方形の面積を１、辺の長さが１の立方体の体積を１とする。区間の直積の面積、体積を定める。

2. 平面または３次元空間の有界部分集合 A に対し、有限個の区間の直積の和集合⋃ I_{i}で A を含むものについて、 ∑ μ(I_{i}) を考え、これの下限として、 A の外測度を定義する。

3. A を含む区間の直積 I_{0}をとり、

( 「I_{0}の面積あるいは体積」マイナス「I_{0} − A の外測度」 )

を A の内測度という。内測度と外測度が一致するとき、 A はこの値の面積あるいは体積をもつ。

4. 滑らかな曲線で囲まれた平面の有界閉集合は面積を持つ。滑らかな曲面で囲まれた３次元ユークリッド空間の有界閉集合は体積を持つ。滑らかな曲線、滑らかな曲面とは局所的に滑らかな関数のグラフの形のものをいう。 (連続な曲線で囲まれた平面の有界閉集合は面積を持つとは限らない。しかし、連続関数のグラフで囲まれた平面の有界閉集合は面積を持つ。）

\underline{積分、重積分、累次積分}

5. 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f について f ≧ 0 ならば、平面の有界閉集合

{(x, y) | a ≦ x ≦ b, 0 ≦ y ≦ f(x)}

は面積をもつ。これは積分 ∫_{a}^{b} f(t)dt である。

一般には、 f = max{f, 0} − max{−f, 0} で、 ∫_{a}^{b} f(t)dt は「max{f, 0} と x 軸の間の面積」マイナス「max{−f, 0} と x 軸の間の面積」。

6. 面積を持つ平面の有界閉集合 A 上の連続関数 f について f ≧ 0 ならば、３次元ユークリッド空間の有界閉集合

{(x, y, z) | (x, y) ∈ A, 0 ≦ z ≦ f(x, y)}

は体積をもつ。これは積分 ∫_{A} f(x, y)dxdy である。

一般には、 f = max{f, 0} − max{−f, 0} で、 ∫_{A} f(x, y)dxdy は「max{f, 0} と xy 平面の間の体積」マイナス「max{−f, 0} と x 平面の間の体積」。

7. 閉区間 [a, b] 上の連続関数ψ, φ についてψ(x) ≦ φ(x) のとき、

A = {(x, y) | a ≦ x ≦ b, ψ(x) ≦ y ≦ φ(x)}

とおく。 A 上の連続関数 f について、 ∫_{ψ(x)}^{φ(x)} f(x, y)dy は x について連続であり、

∫_{A} f(x, y)dxdy = ∫_{a}^{b} [ ∫_{ψ(x)}^{φ(x)} f(x, y)dy]dx

である。

\underline{極座標}

8. D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} ≦ R^{2}} とする。 D 上の連続関数 f について、

∫_{D} f(x, y)dxdy = ∫_{0}^{R} [ ∫_{0}^{2π} f(r cos θ, r sin θ)dθ]rdr
= ∫_{0}^{2π} [ ∫_{0}^{R} f(r cos θ, r sin θ)rdr]dθ

である。

9. D = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ R^{2}} とする。 D 上の連続関数 f について、

∫_{D} f(x, y, z)dxdydz
= ∫_{0}^{R} ∫_{θ=0}^{θ=π} ∫_{φ=0}^{φ=2π} f(r cos θ, r sin θ cos φ, r sin θ sin φ)r^{2} sin θdrdθdφ

である。ここで f が r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}のみに依存する関数ならば、

g(r) = f(r cos θ, r sin θ cos φ, r sin θ sin φ)

として

∫_{D} f(x, y, z)dxdydz = 4π ∫_{0}^{R} g(r)r^{2}dr

である。