1998 年度数理科学 I 演習問題理科 I 類２年生３組、２５−２８組向け水曜日４限担当坪井

１９９８年５月２０日

問題１平面の開集合 U 上で定義された関数 f(x, y) について、\frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}) ≠ 0 とする。 x_{0}の近傍で定義された関数 g(x) が f(x, g(x)) = f(x_{0}, y_{0}) を満たすとする。 g の２階微分\frac{d^{2}g}{dx^{2}} を f の２階までの微分であらわせ。

問題２ f(x, y) = x^{3} − 3x − y^{2}とする。 (1) f(x, y) = −3 をみたす曲線上で、接線が x 軸と平行になる点 (x_{0}, y_{0}) を求めよ。

(2) (1) の点の近傍で f(x, g(x)) = f(x_{0}, y_{0}) を満たす関数 g(x) について、その２階微分を求めよ。

(3) f(x, y) = −3 をみたす曲線の変曲点について考察せよ。

問題３３変数の関数 f(x, y, z) に対し、\frac{∂f}{∂z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0 とすると、陰関数定理が成立して、 (x_{0}, y_{0}) の近傍で定義された関数 g(x, y) が存在して、 f(x, y, g(x, y)) = f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) を満たす。

\frac{∂f}{∂z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0, \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0 とするとき、 (x_{0}, y_{0}, z_{0})

における g(x, y) のヘッセ行列

( \begin{matrix}\frac{∂^{2}g}{∂x^{2}} & \frac{∂^{2}g}{∂x∂y} \\ \frac{∂^{2}g}{∂x∂y} & \frac{∂^{2}g}{∂y^{2}} \end{matrix} )

を求めよ。

問題４ f(x, y, z) = (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 24)^{2} − 4((4x + 3z)^{2} + (5y)^{2})

に対し、４点、 ±(4, 0, 4), ±(4, 0, 2) において、

f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0, \frac{∂f}{∂z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0, \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0 である

ことを確かめ、これらの点での g(x, y) のヘッセ行列を求めよ。