1997 年度 幾何学 III 試験問題の出題ミスについて

1998 年 2 月 12 日 13:00–16:00 に行った試験問題、問題２に誤りがありました。解答を見たところ採点には大きな影響はなかったので、解答は善意に解釈して採点しました。

問題 2. exp(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) で定義されるexp : R^{2} ⟶

R^{2} − {0} を考える。および

(1) の中の p がexp の誤りで、正しくは以下の通り。

問題 2. exp(r, θ) = (e^{r} cos θ, e^{r} sin θ) で定義されるexp : R^{2} ⟶ R^{2} − {0} を考える。

そうして (1),(2) の設問につながります。

(1) R^{2}上の１次微分形式 dθに対し、 R^{2} −{0} 上の１次微分形式 α でexp^{∗} α = dθを満たすものが存在することを示せ。今後、 R^{2} −{0} 上の１次微分形式 α を dθ と書く。

(2) R^{2} − {0} 上の１次閉微分形式η に対し、実数 a, R^{2} − {0} 上の関数 f が存在し、 η = adθ + df と表示されることを示せ。

(1) は微分形式の定義を聞く問題（exp について 1 点の逆像が可算個あり、そのどの点の近傍で dθとなるという条件も同値であること、つまり、 dθはθ方向の 2πだけの平行移動で不変であることを示す）。

(2) は R^{2} − {0} の 1 次元ドラームコホモロジーが R と同型で生成元が閉形式 dθのクラスであること、 a = \frac{1}{2π} ∫_{S^{1}} η となることの理解を聞く問題。