1997 年度 幾何学 III 試験問題 1998 年 2 月 12 日 13:00–16:00

以下の５題から３題以上に解答せよ。

問題 1. a, b, c を正の実数とする。３次元ユークリッド空間内の曲面

S = \{(x, y, z) ∈ R^{3} | \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\}

を考える。次の積分をもとめよ。

∫_{S} x dy ∧ dz − y dx ∧ dz + z dx ∧ dy

問題 2. exp(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) で定義されるexp : R^{2} ⟶ R^{2} − {0} を考える。

(1) R^{2}上の１次微分形式 dθに対し、 R^{2} − {0} 上の１次微分形式 α で p^{∗}α = dθを満たすものが存在することを示せ。今後、 R^{2} − {0} 上の１次微分形式 α を dθ と書く。

(2) R^{2} − {0} 上の１次閉微分形式η に対し、実数 a, R^{2} − {0} 上の関数 f が存在し、 η = adθ + df と表示されることを示せ。

問題 3. (1) n 次元球面 S^{n}のドラームコホモロジー群 H_{DR}^{∗}(S^{n}) の定義を述べよ。（微分形式については既知とする。）

(2) H_{DR}^{∗}(S^{n}) はどのような群になるか結果を述べよ。積分との関係について述べよ。

(3) n 次元ユークリッド空間 R^{n}上の台がコンパクトな n 次微分形式 ω が ∫_{R^{n}} ω = 0 を満たすならば、台がコンパクトな (n − 1) 次微分形式 η で ω = dη を満たすものが存在することを証明せよ。

問題 4. n 次元多様体 M の余接束 T^{∗}M 上に自然に入る 2n 次元多様体の構造を考える。座標近傍 (U, (x_{1}, ⋯, x_{n})) の点 p における余接空間 T_{p}^{∗}M の

元 α = ∑_{j=1}^{n} α_{j}dx_{j} の座標は (x_{1}, ⋯, x_{n}; α_{1}, ⋯, α_{n}) で与えられている。

π : T^{∗}M ⟶ M を射影とする。 T^{∗}M 上の２次微分形式 ω で M の任意の座標近傍 (U, (x_{1}, ⋯, x_{n})) に

対し、 π^{−1}(U) 上で ∑_{j=1}^{n} dα_{j} ∧ dx_{j} と表されるものが存在することを示せ。

問題 5. 任意のコンパクト多様体上にリーマン計量が存在することを示せ。