１月９日

1997 年度幾何学 III 演習問題

問題. R^{3}上の２次微分形式 ω = x dy ∧ dz − y dx ∧ dz + z dx ∧ dy を考える。

(1) ３次特殊直交群 SO(3) の任意の元 A : R^{3} ⟶ R^{3} について A^{∗}ω = ωを示せ。

(2) S^{2}を R^{3}の単位球面とする。 S^{2}に適当に向きを定め、 ∫_{S^{2}} ωを求めよ。

M を向き付け可能な曲面（２次元多様体）とし、 M の R^{3}への埋め込み（またははめ込み） i が与えられているとする。 M の各点 p に対し、 n(p) を i(M) の単位法ベクトルとする。すなわち、 n(p) ∈ T_{i(p)}R^{3}は i_{∗}(T_{p}M) ⊂ T_{i(p)}R^{3}に直交し、 ∥n(p)∥ = 1 とする。 n(p) は p について連続にとられているとする。写像 T_{i(p)}R^{3}と R^{3}を同一視して得られる写像 n : M ⟶ S^{2}をガウス写像という。

(3) M はコンパクトとする． S^{2}上の 2 次微分形式αで∫_{S^{2}} α ≠ 0 となるものをとる。

\frac{∫_{M} n^{∗}α}{∫_{S^{2}} α}は、 αによらず、一定であることを示せ。（これは n の写像度である。）従っ

て\frac{∫_{M} n^{∗}α}{∫_{S^{2}} α} = \frac{∫_{M} n^{∗}ω}{∫_{S^{2}} ω}

n^{∗}(ω) を考えよう。 M が局所的に {(x, y, z(x, y))} と書かれており、

z_{x}(0, 0) = \frac{∂z}{∂x}(0, 0) = 0, z_{y}(0, 0) = \frac{∂z}{∂y} (0, 0) = 0 とする。この時、

n(x, y) = ±\frac{(−z_{x}, −z_{y}, 1)}{\sqrt{1 + (z_{x})^{2} + (z_{y})^{2}}} であるが、符号は正で n(x, y) = (0, 0, 1) とする。

(4) この時 n^{∗}(ω)|_{(0,0)} = det ( \begin{matrix}z_{xx} & z_{xy} \\ z_{xy} & z_{yy} \end{matrix} ) dx ∧ dy となることを示せ。

K = det ( \begin{matrix}z_{xx} & z_{xy} \\ z_{xy} & z_{yy} \end{matrix} )をガウス曲率という。

ガウス曲率が正ならば z(0, 0) は極大または極小となるが、この時 n は M 上の dx∧dy、 S^{2}上のωで定まる向きについて、向きを保つ。ガウス曲率が負ならば z(0, 0) は鞍点となるが、この時 n は向きを裏返す。

ガウスにより、ガウス曲率 K は R^{3}のユークリッドの計量から M に誘導されたリーマン計量により決定されることが知られている。

R^{3}の単位ベクトル n ∈ S^{2}について、 n が一般的ということをproj_{n}(p) = n · i(p) で定義される関数 proj_{n} : M ⟶ n · i(p) が M 上のモース関数であることとする。

n = (u, v, w), M が局所的に {(x, y, z(x, y))} と書かれているとき proj_{n}(x, y) = ux + vy + wz(x, y). 関数 proj_{n}が退化している臨界点をもつとは、

\frac{∂ proj_{n}}{∂x} = u + wz_{x} = 0, \frac{∂ proj_{n}}{∂y} = v + wz_{y} = 0,

det ( \begin{matrix}\frac{∂^{2} proj_{n}}{∂x^{2}} & \frac{∂^{2} proj_{n}}{∂x∂y} \\ \frac{∂^{2} proj_{n}}{∂x∂y} & \frac{∂^{2} proj_{n}}{∂y^{2}} \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}wz_{xx} & wz_{xy} \\ wz_{xy} & wz_{yy} \end{matrix} ) = 0

が共通の零点をもつこと。とくに、 w ≠ 0 のときは、 (−u/w, −v/w) は (x, y) ⟼ (z_{x}, z_{y}) の臨界値である。ゆえに、サードの定理からほとんどすべての n ∈ S^{2}に対して、 proj_{n}はモース関数である。

n = (0, 0, 1) が一般的として、 proj_{n}がモース関数とする。臨界点の近傍では、 M は局所的に {(x, y, z(x, y))} と書かれており、 proj_{n}(x, y) = z(x, y) である。とくに (x, y) = (0, 0) を臨界点とする。 z_{x}(0, 0) = z_{y}(0, 0) = 0

n^{−1}(0, 0, 1) = \{p_{1}, ⋯ p_{k}\} とし、 U_{i}を p_{i}の近傍でガウス曲率 K = det ( \begin{matrix}z_{xx} & z_{xy} \\ z_{xy} & z_{yy} \end{matrix} ) が

定符号であるようなものとし、 n(M − ⋃ \overline{U_{i}}) と交わらない (0, 0, 1) の近傍 V をとる。

V に台を持つ n 次微分形式をαとする。（４）により、

∫_{M} n^{∗}α = ∑_{n^{−1}(0,0,1) の極大点, 極小点}∫_{S^{2}} α − ∑_{n^{−1}(0,0,1) の鞍点}∫_{S^{2}} α

n^{−1}(0, 0, −1) = {q_{1}, ⋯ q_{ℓ}} についても同様の議論をすれば、 (0, 0, −1) の十分小さい近傍 W に台を持つ n 次微分形式βに対し、

∫_{M} n^{∗}β = ∑_{n^{−1}(0,0,−1) の極大点, 極小点}∫_{S^{2}} β − ∑_{n^{−1}(0,0,−1) の鞍点}∫_{S^{2}} β

∫_{S^{2}} α = ∫_{S^{2}} β ととれば、\frac{∫_{M} n^{∗}α}{∫_{S^{2}} α} は次のように求まる。

\frac{1}{2}((n^{−1}(0, 0, 1) の極大点, 極小点の個数) − (n^{−1}(0, 0, 1) の鞍点の個数)

+ (n^{−1}(0, 0, −1) の極大点, 極小点の個数) − (n^{−1}(0, 0, −1) の鞍点の個数))
=\frac{1}{2}((proj_{n} の極大点, 極小点の個数) − (proj_{n} の鞍点の個数))

この結果、 ((proj_{n} の極大点, 極小点の個数) − (proj_{n} の鞍点の個数)) はproj_{n}がモース関数となるような n の取り方によらない。モース理論によればこれは M のオイラー数χ(M) である。ゆえに（２）と（３）から次のガウス・ボンネの定理を得る

∫_{M} n^{∗}ω = \frac{1}{2}χ(M)4π = 2π χ(M)