１２月１９日

1997 年度幾何学 III 単体複体のドラーム・コホモロジー理論について訂正と補足

\underline{有限単体複体}.

R^{N}の基底を {e_{1}, ⋯, e_{N}} とする。

頂点 {e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}}} (e_{i_{0}} < ⋯ < e_{i_{k}}) を頂点とする k 次元単体（これらの点の凸包）を < e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} > で表すことにする。すなわち、

< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} >= {∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}e_{i_{ℓ}} |t_{i_{ℓ}} ≥ 0, ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}} = 1}

この単体の点∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}e_{i_{ℓ}} に対し、 (t_{i_{0}}, ⋯ t_{i_{k}}) をその点の重心座標という。

有限単体複体 K とはこれらの単体からなる有限集合で、一つの k 次元単体< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} > をふくめば、その面となる k − 1 次元単体< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{ℓ−1}}, e_{i_{ℓ+1}}, ⋯, e_{i_{k}} > (0 ≤ ℓ ≤ k) を含む（従って、次元の低い面をすべて含む）ものである。 |K| で K に属する単体の和集合を表す。 |K| の点は重心座標で表されている。

有限単体複体 K のコホモロジーは次で定義される。

C^{k}(K) を K の k 次元単体上の実数値関数のなすベクトル空間とする。 C^{k}(K) の元 c の k 次元単体< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} >での値を c(i_{0}, ⋯, i_{k}) と書くことにする。 δ : C^{k}(K) ⟶ C^{k+1}(K) を

(δc)(i_{0}, ⋯, i_{k+1}) = ∑_{ℓ=0}^{k+1} c(i_{0}, ⋯, i_{ℓ−1}, i_{ℓ+1}, ⋯, i_{k+1})

で定義する。そうするとδ ∘ δ = 0 となり、有限単体複体 K のコホモロジーは、 K のコチェイン複体 C^{∗}(K) のコホモロジーとして H^{∗}(K) = kernel δ/ image δで定義される。

\underline{ドラーム複体}

有限単体複体 K のドラーム複体Ω^{∗}(K) を次のように定義する。

Ω^{k}(K) の元ωとは K のすべての単体σ から、その上の k 次微分形式ω_{σ}への対応であり、 m 次元単体σ =< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{m}} > とその面となる m−1 次元単体τ =< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{ℓ−1}}, e_{i_{ℓ+1}}, ⋯, e_{i_{m}} > に対し、 ω_{σ}のτへの制限がω_{τ} と一致する (ω_{σ}|τ = ω_{τ}) ものである。

外微分 d : Ω^{k}(K) ⟶ Ω^{k+1}(K) について、 d ∘ d = 0 であり、有限単体複体 K のドラーム・コホモロジー H_{DR}^{∗}(K) = kernel d/ image d が定義される。 \underline{チェック・ドラーム理論} K の各頂点 e_{i}に対し、 U_{i} を e_{i}のまわりの開星状体star(e_{i}) とする。 U_{i_{0}···i_{k}} = ⋂_{ℓ=0}^{k} U_{i_{ℓ}} とする

と、 U_{i_{0}···i_{k}}についてポアンカレの補題が成立する。また、１２月５日の演習問題の図式と同様の列の完全性が成立する。この事から、有限単体複体 K のドラーム複体について、チェック・ドラーム理論が成立する。

U_{i_{0}···i_{k}}が空でないのは< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} >が K の k 次元単体であることと同値であり、開被覆 {U_{i}} = {star(e_{i})} についてのチェック複体は K のコチェイン複体 C^{∗}(K) と一致する。

\underline{積分} 有限単体複体 K のドラーム複体Ω^{∗}(K) と K のコチェイン複体 C^{∗}(K) の関係。 ω ∈ Ω^{k}(K) と K の k 次元単体σ =< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} > に対し、 ∫_{σ} ω ∈ R を対応させる対応は

K の k 次コチェインを与える。この写像を I : Ω^{∗}(K) ⟶ C^{∗}(K) と書く。ストークスの定理から I はコチェイン写像 (I ∘ d = δ ∘ I) となる。

\underline{ホイットニーの定理} I は有限単体複体 K のドラームコホモロジー H_{DR}^{∗}(K) と K のコホモロジー H^{∗}(K) の間の

同型写像を誘導する。

証明のためにコチェイン写像 s : C^{∗}(K) ⟶ Ω^{∗}(K) で、 I ∘ s = id_{C^{∗}(K)}を構成する。チェック・ドラーム理論により、 H_{DR}^{∗}(K) と H^{∗}(K) が同型であり、有限次元ベクトル空間となることがわかっているので I が同型写像を誘導することがわかる。

\underline{訂正} s の定義の中で、定義の持つべき対称性を忘れていた。 k 次元単体< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} > に対し考える k 次微分形式は

ω_{i_{0}···i_{k}} = k! ∑_{ℓ=0}^{k}(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

でなければならない。この微分形式は< e_{i_{0}}, ⋯, e_{i_{k}} > を含むすべての単体上で定義されている。これは係数が t_{i}について１次のであることに注意する。

このω_{i_{0}···i_{k}}に対して、 ∫_{<e_{i_{0}} ,··· ,e_{i_{k}} >} ω_{i_{0}···i_{k}} = (k + 1)k! ∫_{<0,e_{i_{0}} ,··· ,e_{i_{k}} >} dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} = 1 となる。

s の構成を可能にしている事実は次の通りである。 s の像をω_{i_{0}···i_{k}}を用いてつくると、これがコチェイン写像となる (d ∘ s = s ∘ δ) ためには、

dω_{i_{0}···i_{k}} = (k + 1)!dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} （この係数は t_{i}について零次）がω_{j_{0}···j_{k+1}}の和にかかれる必要がある。特に、 k = 0 のとき、 dω_{i} = dt_{i}についてそうでなければならない。ところが、 K の m 次元単体σ =< e_{j_{0}}, ⋯, e_{j_{m}} > 上で、

dt_{j_{ℓ}} = (∑_{a=0}^{m} t_{j_{a}})dt_{j_{ℓ}} = ( ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}})dt_{j_{ℓ}} + t_{j_{ℓ}}dt_{j_{ℓ}}

=(  ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}})dt_{j_{ℓ}} + t_{j_{ℓ}}d(1 − ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}})
= ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}}(t_{j_{a}}dt_{j_{ℓ}} − t_{j_{ℓ}}dt_{j_{a}})

これはω_{j_{a}j_{ℓ}} (j_{a} < j_{ℓ}) およびω_{j_{ℓ}j_{a}} (j_{ℓ} < j_{a}) の和である。実際

dt_{j_{ℓ}} = ∑_{{i_{0},i_{1}}−{i_{1}}={j_{ℓ}}} ω_{i_{0}i_{1}} − ∑_{{i_{0},i_{1}}−{i_{0}}={j_{ℓ}}} ω_{i_{0}i_{1}}

同様に dω_{i_{0}···i_{k}}についても K の m 次元単体σ =< e_{j_{0}}, ⋯, e_{j_{m}} > ({i_{0}, ⋯, i_{k}} ⊂ {j_{0}, ⋯, j_{m}}, i_{0} < ⋯ < i_{k}, j_{0} < ⋯ < j_{m}) 上で、

(k + 1)!dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} = (k + 1)!((∑_{a=0}^{m} t_{j_{a}})dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}})

=(k + 1)!(  ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}} t_{j_{a}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}} + ∑_{ℓ=0}^{k} t_{i_{ℓ}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}})

ここで、

t_{i_{ℓ}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}
=t_{i_{ℓ}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ d(1 − ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{j_{ℓ}}} t_{j_{a}}) ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}
= − ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}}dt_{j_{a}} ∧ dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

したがって、

(k + 1)!dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

=(k + 1)!(  ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}} t_{j_{a}}dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}}

− ∑_{j_{a}∈{j_{0},··· ,j_{m}}−{i_{0},··· ,i_{k}}} ∑_{ℓ=0}^{k}(−1)^{ℓ}t_{i_{ℓ}}dt_{j_{a}} ∧ dt_{i_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{ℓ−1}} ∧ dt_{i_{ℓ+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{i_{k}})

=(k + 1)! ∑_{{b_{0},···b_{k+1}}−{b_{u}}={i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{u} ∑_{v=0}^{k+1}(−1)^{v}t_{b_{v}}dt_{b_{0}} ∧ ⋯ ∧ dt_{b_{v−1}} ∧ dt_{b_{v+1}} ∧ ⋯ ∧ dt_{b_{k+1}}

ここで、 b_{0} < ⋯ < b_{k+1}とする。結局、次のファンタスティックな関係式が成立する。

dω_{i_{0}···i_{k}} = ∑_{{b_{0},··· ,b_{k+1}}−{b_{u}}={i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{u}ω_{b_{0}···b_{k+1}}

\underline{補足}

さて s を定義することを考える。

c ∈ C^{0}(K) に対しては、対応するΩ^{0}(K) の元は |K| 上の関数であり、リーゾナブルな取り方は、頂点 e_{i}で c(i) をとる関数を線形に拡張したものである。すなわち、 K の m 次元単体 σ =< e_{j_{0}}, ⋯, e_{j_{m}} > 上で、

s(c)_{σ} = ∑_{ℓ=0}^{m} c(j_{ℓ})t_{j_{ℓ}}

これについて、外微分をとると

ds(c)_{σ} = ∑_{ℓ=0}^{m} c(j_{ℓ})dt_{j_{ℓ}} = ∑_{ℓ=0}^{m} c(j_{ℓ})(  ∑_{{i_{0},i_{1}}−{i_{1}}={j_{ℓ}}} ω_{i_{0}i_{1}} − ∑_{{i_{0},i_{1}}−{i_{0}}={j_{ℓ}}} ω_{i_{0}i_{1}})
= ∑_{{i_{0},i_{1}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}}(c(i_{0})ω_{i_{0}i_{1}} − c(i_{1})ω_{i_{0}i_{1}}) = ∑_{{i_{0},i_{1}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}}(c(i_{0}) − c(i_{1}))ω_{i_{0}i_{1}}

ここで i_{0} < i_{1}とする。これをδc の像にする必要があるが、それはδc(i_{0}, i_{1}) = c(i_{0}) − c(i_{1}) であるから、 c^{1} ∈ C^{1}(K) に対し、

s(c^{1})_{σ} = ∑_{{i_{0},i_{1}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}} c^{1}(i_{0}, i_{1})ω_{i_{0}i_{1}}

とすればよい。

一般に c ∈ C^{k}(K) に対し、次のように s を定義する。 K の m 次元単体σ =< e_{j_{0}}, ⋯, e_{j_{m}} > (m ≥ k) 上で、

s(c)_{σ} = ∑_{{i_{0},··· ,i_{k}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}} c(i_{0}, ⋯, i_{k})ω_{i_{0}···i_{k}}

これはΩ^{k}(K) の元となる。 s がコチェイン写像であること (d ∘ s = s ∘ δ) が次のように確かめられる

ds(c)_{σ} = ∑_{{i_{0},··· ,i_{k}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}} c(i_{0}, ⋯, i_{k})dω_{i_{0}···i_{k}}
= ∑_{{i_{0},··· ,i_{k}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}} c(i_{0}, ⋯, i_{k}) ∑_{{b_{0},···b_{k+1}}−{b_{u}}={i_{0},··· ,i_{k}}}(−1)^{u}ω_{b_{0}···b_{k+1}}
= ∑_{{b_{0},···b_{k+1}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}}(∑_{u=0}^{k+1}(−1)^{u}c(b_{0}, ⋯, b_{u−1}, b_{u+1}, ⋯ b_{k+1}))ω_{b_{0}···b_{k+1}}
= ∑_{{b_{0},···b_{k+1}}⊂{j_{0},··· ,j_{m}}}(δc)(b_{0}, ⋯ b_{k+1})ω_{b_{0}···b_{k+1}} = s(δ(c))_{σ}