１２月１２日

1997 年度幾何学 III 演習問題

問題. P_{0}(z) = z^{n}とし、 P (z) を z についての n 次多項式とする。１次元

複素射影空間 CP^{1}からそれ自身への写像 f : CP^{1} ⟶ CP^{1}を

f([z : 1]) = [P (z) : 1], f([1 : 0]) = [1 : 0]

で定める。 f_{0}を P_{0}を用いて同様に定める。

(1) f は C^{∞}級写像であることを示せ。

(2) C^{∞}級写像 F : CP^{1} × [0, 1] ⟶ CP^{1} で F |CP^{1} × {0} = f_{0}, F |CP^{1} × {1} = f_{1}を満たすものが存在することを示せ。

(3) f^{∗} = f_{0}^{∗} : H_{DR}^{2}(CP^{1}) ⟶ H_{DR}^{2}(CP^{1}) を示せ。

(4) 2 次微分形式に積分を対応させる写像は I : H_{DR}^{2}(CP^{1}) ≅ R を導く。このとき、 f_{0}^{∗} : H_{DR}^{2}(CP^{1}) ⟶ H_{DR}^{2}(CP^{1}) を求めよ。 (5) もしも P (z) = 0 となる点 z が存在しなければ、 f は ∞ に値を持つ定値写像とホモトピックになり f^{∗} = 0 となることを示せ。