１２月５日

1997 年度幾何学 III 演習問題

問題. {U_{i}}_{1=1,···N} を n 次元多様体 M の開被覆とする。 1 ≤ i_{0} < i_{1} < ⋯ < i_{k} ≤ N に対し、

U_{i_{0}i_{1}···i_{k}} = U_{i_{0}} ∩ U_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ U_{i_{k}}

とおく。開被覆 {U_{i}}_{1=1,···N}は次の条件を満たすとする。

“任意の U_{i_{0}i_{1}···i_{k}}は R^{n}または空集合と微分同相であり、 U_{i_{0}i_{1}···i_{n+1}} = ∅ となる.”

次の可換図式を考える。

↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}
0 ⟶ Ω^{3}(M) ⟶^{r} ⨁_{i}Ω^{3}(U_{i}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}}Ω^{3}(U_{i_{0}i_{1}}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}}Ω^{3}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) ⟶^{δ}
↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}
0 ⟶ Ω^{2}(M) ⟶^{r} ⨁_{i}Ω^{2}(U_{i}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}}Ω^{2}(U_{i_{0}i_{1}}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}}Ω^{2}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) ⟶^{δ}
↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}
0 ⟶ Ω^{1}(M) ⟶^{r} ⨁_{i}Ω^{1}(U_{i}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}}Ω^{1}(U_{i_{0}i_{1}}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}}Ω^{1}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) ⟶^{δ}
↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}  ↑^{d}
0 ⟶ Ω^{0}(M) ⟶^{r} ⨁_{i}Ω^{0}(U_{i}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}}Ω^{0}(U_{i_{0}i_{1}}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}}Ω^{0}(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) ⟶^{δ}
↑^{ι}  ↑^{ι}  ↑^{ι}
⨁_{i}R(U_{i}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}}R(U_{i_{0}i_{1}}) ⟶^{δ} ⨁_{i_{0}<i_{1}<i_{2}}R(U_{i_{0}i_{1}i_{2}}) ⟶^{δ}
↑  ↑  ↑
0  0  0

但し、縦向きの準同型についてはΩ^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) ⟶ Ω^{p+1}(U_{i_{0}···i_{k}}) は外微分 d である。

⨁_{i_{0}<···<i_{k}}R(U_{i_{0}···i_{k}}) は {(U_{i_{0}···i_{k}})}_{i_{0}<···<i_{k}}を基底とする実ベクトル空間で、 R(U_{i_{0}···i_{k}}) ⟶ Ω^{0}(U_{i_{0}···i_{k}})

は定数関数の埋め込み ι である。また、横向きの準同型については、 Ω^{p}(M) ⟶ Ω^{p}(U_{i}) は制限 r_{i}である。 r = ⊕r_{i} k + 1 個の添え字 i_{0} < ⋯ < i_{k}とそれに現れる i_{s}に対し、 Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{s−1}i_{s+1}···i_{k}}) ⟶ Ω^{p}(U_{i_{0}···i_{k}}) は制限 r_{i_{0}···i_{k}}^{i_{0}···i_{s−1}i_{s+1}···i_{k}} の (−1)^{s}倍である。 δ = ⊕ ∑(−1)^{s}r_{i_{0}···i_{k}}^{i_{0}···i_{s−1}i_{s+1}···i_{k}}

開被覆 {U_{i}}_{1=1,···N}に従属する 1 の分解μ_{i} を用いて、 0 ⟶ Ω^{p}(M) から始まる横の列は完全列であることを示せ。