１１月２１日

1997 年度幾何学 III 演習問題

問題. M_{1}, M_{2} を多様体 M の開集合で M = M_{1} ∪ M_{2} を満たすものとする. M_{12} = M_{1} ∩ M_{2} とおき,

i_{1} : M_{12} ⟶ M_{1} i_{2} : M_{12} ⟶ M_{2}
j_{1} : M_{1} ⟶ M j_{2} : M_{2} ⟶ M

を包含写像とする.

(1) 次の sequence は exact であることを示せ.

0 ⟶ Ω^{p}(M) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})} Ω^{p}(M_{1}) ⊕ Ω^{p}(M_{2}) ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} Ω^{p}(M_{12}) ⟶ 0

(2) M_{12} 上の p 次閉微分形式 α に対し, M_{1} 上の p 次微分形式 α_{1} と M_{2} 上の p 次微分形式 α_{2} とを i_{1}^{∗}α_{1}−i_{2}^{∗}α_{2} = α となるように取り, M_{1} 上の p+1 次微分形式 dα_{1} と M_{2} 上の p+1 次微分形式 dα_{2} とを考えると, これらは M_{12} 上で一致し, M 上の p+1 次閉微分形式 β を定める. これにより、線型写像 Δ^{∗} : H^{p}(M_{12}) ⟶ H^{p+1}(M) が定まることを示せ. すなわち、次を示せ。

(a) M 上の p + 1 次閉微分形式 β のコホモロジー類 [β] が、 α に対する α_{1}, α_{2} の取り方によらない。

(b) α が完全微分形式のとき、 β も完全微分形式となる。

(3) 次の sequence は exact であることを示せ.

...  ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} H^{p−1}(M_{12})
⟶^{Δ^{∗}} H^{p}(M) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})} H^{p}(M_{1}) ⊕ H^{p}(M_{2}) ⟶^{i_{1}^{∗}−i_{2}^{∗}} H^{p}(M_{12})
⟶^{Δ^{∗}} H^{p+1}(M) ⟶^{(j_{1}^{∗},j_{2}^{∗})}  ...