１１月１４日

1997 年度幾何学 III 演習問題

問題. p_{N} : S^{2} − {(0, 0, 1)} ⟶ R^{2} を stereographic projection とする。

(0) p_{S} : S^{2} − {(0, 0, −1)} ⟶ R^{2}について座標変換 p_{S} ∘ p_{N}^{−1}を求めよ。

(1) R^{2} 上の polynomial vector field ξ について (p_{N}^{−1})_{∗}ξ が S^{2} に smooth に拡張するための条件を求めよ。

(ξ = P (x, y)\frac{∂}{∂x} + Q(x, y)\frac{∂}{∂y} (P (x, y), Q(x, y) は x, y の多項

式) として、 S^{2} − {(0, 0, 1), (0, 0, −1)} に定義されているベクトル場 (p_{N}^{−1})_{∗}ξ が S^{2} − {(0, 0, −1)} に拡張する条件を、座標近傍 (S^{2} − {(0, 0, −1)}, p_{S}) において考え、 P (x, y), Q(x, y) の満たすべき条件を求める。 )

(2) R^{2} 上の polynomial 1-form ω について (p_{N})^{∗}ωが S^{2}に smooth に拡張するための条件を求めよ。 (ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy (P (x, y), Q(x, y) は x, y の多項式) として、 (1) と同様に P (x, y), Q(x, y) の満たすべき条件を求める。 )