１１月７日

1997 年度幾何学 III 演習問題

問題. R^{3}の座標を (x, y, z) とする。 R^{3}上の１次微分形式

α = dz + xdy

を考える。

(1) 写像 F : R^{3} ⟶ R^{3}を

F (x, y, z) = (x, y, \frac{z − xy}{2} )

とするとき、 F^{∗}α を計算せよ。

(2) F のヤコービ行列式を計算せよ。 α ∧ dα、 F^{∗}α ∧ dF^{∗}αを計算せよ。

(3) φ_{t}(x, y, z) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t, z) とするとき、 φ_{t}^{∗}F^{∗}α を求めよ。

(4) 写像 G, H : R^{3} ⟶ R^{3}を G(x, y, z) = (x, y, z − xy), H(x, y, z) = (x, y cos x − z sin x, z cos x + y sin x) とするとき、 H^{∗}G^{∗}αを計算せよ。

(5) G ∘ H のヤコービ行列式を計算せよ。 H^{∗}G^{∗}α ∧ dH^{∗}G^{∗}αを計算せよ。