１０月２４日

1997 年度幾何学 III 演習問題

複素平面 C の開集合 U 上で定義された複素数値関数 f(z) を考える。すなわち、 z = x + y\sqrt{−1} として、２変数関数 u(x, y), v(x, y) があって

f(z) = u(x, y) + v(x, y)\sqrt{−1}

f が微分可能であるとき、その全微分は複素数値１次微分形式である。（T^{∗}U ⊗ C に値をとる）

df = \frac{∂u}{∂x}dx + \frac{∂u}{∂y}dy + \frac{∂v}{∂x}\sqrt{−1}dx + \frac{∂v}{∂y} \sqrt{−1}dy

(1) df が各点 z 上で, dz = dx + \sqrt{−1}dy の生成する T_{z}^{∗}U ⊗ C の部分空間に値をとるための条件は何か？

(2) 複素数値１次微分形式 fdz が閉微分形式となる条件はなにか？ (3) 複素数値１次微分形式 fdz が閉微分形式のときこれは完全微分形

式か？