1996 年度第 1 学期 数学 I 試験問題坪井

1996 年 9 月 9 日 10:50∼ 12:20 注意。 教科書、参考書、ノート等の持ち込み不可答案用紙 片面２枚、計算用紙２枚、答案用紙２枚を提出すること答案用紙が足らなくなったら、ことわって裏面を使ってもよい

問題 1. 次の不定積分を求めよ。

∫ \frac{x^{2}}{1 − x^{4}} d x

問題 2. 次の変格積分を求めよ。

∫_{−1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 − x^{2}}}

問題 3. 次の重積分を求めよ。

∫ ∫_{x^{2}≦y≦1}(x^{4} + y^{4}) d x d y

問題 4. 次の重積分を求めよ。

∫ ∫_{x^{2}+y^{2}≦2} e^{x^{2}}e^{y^{2}} d x d y

問題 5. 次の変格積分が収束するかどうか判定せよ。

∫_{0}^{∞} \frac{(1 + x^{6})^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} (1 + x^{7})^{\frac{3}{5}}} d x

問題 6. 次で与えられる２変数関数 u, v に対し、ヤコビアン\frac{∂(u, v)}{∂(x, y)} を求めよ。

\{ \begin{matrix}u(x, y) & = (x + 1)^{2} + y \\ v(x, y) & = (x − 1)^{2} + y \end{matrix}

問題 7. 次の積分をΓ (x) を使って表せ。また、 m,n が整数のときの値を求めよ。

m,n > 0 に対し、 ∫_{0}^{1} \frac{t^{mn−1} d t}{\sqrt{1 − t^{n}}}

但し、 x > 0 に対し、 Γ (x) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1} d t で定義されるガンマ関数は、 x > 0 に対し、 Γ (x + 1) = xΓ (x) を満たし、 Γ (1) = 1、 Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}である。また、

x > 0, y > 0 に対し、 B(x, y) = ∫_{0}^{1} t^{x−1}(1 − t)^{y−1} d t で定義されるベータ関数

とガンマ関数との間には次の関係式がある。 B(x, y) = \frac{Γ (x)Γ (y)}{Γ (x + y)}