1996 年度数学 I 演習 7 月 3 日坪井 TEL:03-5465-7035

問題 1. \{ \begin{matrix}u(x, y) & = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \\ v(x, y) & = \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} \end{matrix} に対し, ヤコビアン\frac{∂(u, v)}{∂(x, y)} を求めよ。

問題 2. 実数 n および (0, 0) 以外の点で全微分可能な関数 f(x, y) に対し, 次の二つの条件は同値であることを示せ。

(1) 任意の正実数λに対し、 f(λx, λy) = λ^{n}f(x, y)

(2) x · \frac{∂f}{∂x} (x, y) + y · \frac{∂f}{∂y} (x, y) = n · f(x, y)

問題 3. xy-平面上の関数 f(x, y) に対し、ラプラシアン Δを

Δf(x, y) = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x, y) + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x, y)

と定義するとき, 次を計算せよ。

(1) Δ arctan \frac{y}{x}

(2) Δ log \sqrt{x^{2} + y^{2}}

問題 4. xy-平面上の関数 f(x, y) に対し、 g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) とおく。次を示せ。

(Δf)(r cos θ, r sin θ) = \frac{∂^{2}g}{∂r^{2}} (r, θ) + \frac{1}{r} \frac{∂g}{∂r} (r, θ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂g}{∂θ^{2}} (r, θ)