1996 年度数学 I 演習 6 月 19 日坪井 TEL:03-5465-7035

x > 0 に対し、 Γ (x) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1} d t とおく。ガンマ関数Γ (x) は x > 0 に対し、 Γ (x + 1) = xΓ (x) を満たす。 x > 0, y > 0 に対し、 B(x, y) = ∫_{0}^{1} t^{x−1}(1 − t)^{y−1} d t とおく。 B(x, y) はベータ関数と呼ばれる。ガンマ関数とベータ関数の間には次の関係式がある。 B(x, y) = \frac{Γ (x)Γ (y)}{Γ (x + y)}

問題 1. 次の積分をΓ (x) を使って表せ。また、 n が整数のときの値を求めよ。

(1) n > 0 に対し、 ∫_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 − t^{n}}}

(2) n > −1 に対し、 ∫_{−1}^{1}(1 − t^{2})^{n}d t

(3) n > −\frac{1}{2}に対し、 ∫_{0}^{∞} \frac{d t}{(1 + t^{2})^{n}}

問題 2. Γ (x)Γ (y) = ∫ ∫_{s>0,t>0} e^{−s}s^{x−1}e^{−t}t^{y−1} d s d t において、

u = \frac{s + t}{\sqrt{2}}, v = \frac{t − s}{\sqrt{2}}と変数変換して B(x, y) = \frac{Γ (x)Γ (y)}{Γ (x + y)} を示せ。

問題 3. I = ∫_{0}^{π/2} log sin x d x は有限であることを示せ。 (Iが有限であれば、被積分関数のグラフを考えて、 J_{1} = ∫_{0}^{π/2} log cos x d x = I, J_{2} = ∫_{π/2}^{π} log sin x d x = I

J_{3} = \frac{1}{2} ∫_{0}^{π} log sin x d x = \frac{I + J_{2}}{2} = I, J_{4} = ∫_{0}^{π/2} log sin 2x d x = J_{3} = I

ところが log sin 2x = log 2 + log sin x + log cos x だから、 J_{4} = \frac{π}{2} log 2 + I + J_{1}、

よって I = −\frac{π}{2} log 2. )