1996 年度数学 I 演習の進め方。

第１学期には６回予定されている。毎回問題を配布し、演習の時間中にその解答を書き、提出してもらう。提出された解答は TA の人にチェックしてもらい次の回に返却する。このデータは成績をつけるときの参考にする。演習の時間中、教官、 TA への質問は自由。となりの人、友人、赤の他人に解答を聞いても相談しても良い。

坪井 TEL:03-5465-7035

1996 年度数学 I 演習 ５月８日

xy-平面の点 (x, y) を複素数 z = x+y\sqrt{−1}と考えるときこの平面を複素平面という。 x 軸を実軸、 y軸を虚軸という。複素数 z = x + y\sqrt{−1} の共役\overline{z} = x − y\sqrt{−1}は実軸について zと対称の位置にある。 |z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}を zの絶対値という。 |z| は複素平面上の 0 と zの距離であり、 |z_{1} − z_{2}| は複素平面上の z_{1}と z_{2}の距離である。従って、 |z| = 0 ⇒ z = 0, ||z_{1}| − |z_{2}|| ≤ |z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}| である。

問題 1. 複素数 z_{1}, z_{2}に対し、 |z_{1}z_{2}| = |z_{1}||z_{2}| を示せ。

問題 2. 複素平面上で 0, z_{1}, z_{2}を頂点とする３角形の頂点 0 の角度を θとするとき、 2|z_{1}z_{2}| cos θ = z_{1}\overline{z}_{2} + z_{2}\overline{z}_{1}を示せ。

問題 3. 複素平面上で 0, 1, z_{1}を頂点とする３角形と 0, z_{2}, z_{1}z_{2}を頂点とする３角形は相似であることを示せ。

問題 4. 複素数 λ、実数 c, d に対し、複素平面上で cz\overline{z}−λ\overline{z}−\overline{λ}z+d = 0 を満たす z全体はどのような図形か。 (c の値、 λ\overline{λ} − cd の符号により場合分けをする。 )

問題 5. 複素数 zに対し、数列 {z^{n}} は収束するか。級数∑_{n=0}^{∞} z^{n}は収

束するか。

(|z| の値により場合分けをする。 )