3. ４月２６日

不変な多変数関数が見つかる場合（全微分方程式あるいは完全微分方程式）

２変数関数の偏微分

f(x, y) について、 x についての偏微分を\frac{∂f}{∂x} (x, y), y についての偏微分を\frac{∂f}{∂y} (x, y)

で表す。 x, y が t の関数 x(t), y(t) であるとき、

\frac{df(x(t), y(t))}{dt} = \frac{∂f}{∂x} (x(t), y(t))\frac{dx}{dt}(t) + \frac{∂f}{∂y} (x(t), y(t))\frac{dy}{dt} (t)

となる。 y が x の関数 y(x) であれば、

\frac{df(x, y(x))}{dx} = \frac{∂f}{∂x} (x, y(x)) + \frac{∂f}{∂y} (x, y(x))\frac{dy}{dx}(x)

となる。

df(x, y) = \frac{∂f}{∂x} (x, y)dx + \frac{∂f}{∂y} (x, y)dy の形の式を f(x, y) の全微分とよぶ。一般に、

g(x, y)dx + h(x, y)dy の形のものを 1 次微分形式または微分１形式とよぶ。与えられた微分１形式 g(x, y)dx + h(x, y)dy に対して、それが df(x, y) の形のものかどうかを問う問題が考えられる。

これは、\frac{∂f}{∂x} (x, y) = g(x, y), \frac{∂f}{∂y} (x, y) = h(x, y) をともに満たす f を求める問題で

ある。

f が２回連続微分可能であれば、\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x, y) であるから、

\frac{∂g}{∂y} (x, y) = \frac{∂h}{∂x}(x, y)

であることが必要である。これを積分可能条件と呼ぶ。積分可能条件を満たす微分 1

形式は閉形式と呼ばれる。全微分 df = \frac{∂f}{∂x} (x, y)dx + \frac{∂f}{∂y} (x, y)dy となっている微分

１形式は完全形式と呼ばれる。

問題は、与えられた微分１形式 g(x, y)dx + h(x, y)dy が、積分可能条件を満たすとき（閉形式であるとき）、完全形式であるかということである。

平面全体で定義された連続微分可能関数 g(x, y), h(x, y) については積分可能条件

\frac{∂g}{∂y} (x, y) = \frac{∂h}{∂x}(x, y) が、完全形式であるための十分条件であることが知られている。

実際、そのような f(x, y) があれば、

f(x, y) − f(0, 0) = ∫_{0}^{1} \frac{df(xt, yt)}{dt}dt = ∫_{0}^{1}\{\frac{∂f}{∂x} (xt, yt)x + \frac{∂f}{∂x} (xt, yt)y\}dt

を満たすから、積分可能条件を満たす微分１形式 g(x, y)dx + h(x, y)dy に対して、

f(x, y) = ∫_{0}^{1}{g(tx, ty)x + h(tx, ty)y}dt

とすればよい。実際、

\frac{d}{dx} ∫_{0}^{1}\{g(tx, ty)x + h(tx, ty)y\}dt

= ∫_{0}^{1}\{g(tx, ty) + \frac{∂g}{∂x}(tx, ty)tx + \frac{∂h}{∂x}(tx, ty)ty\}dt
= [g(tx, ty)t]_{t=0}^{t=1} − ∫_{0}^{1}\{\frac{∂g}{∂x}(tx, ty)x + \frac{∂g}{∂y} (tx, ty)y\}tdt+

∫_{0}^{1}\{\frac{∂g}{∂x}(tx, ty)tx + \frac{∂h}{∂x}(tx, ty)ty\}dt

= g(x, y)

問。\frac{d}{dy} ∫_{0}^{1}\{g(tx, ty)x + h(tx, ty)y\}dt = h(x, y) を示せ。

積分可能条件を満たしていることがわかる微分１形式と見て、常微分方程式が解ける場合がある。

例。\frac{dy}{dx} = \frac{2x − 3x^{2}y}{x^{3} − 2y}.

これを全微分方程式の形にすると (−3x^{2}y + 2x)dx + (2y − x^{3})dy = 0 で、これは

平面全体で定義されている。積分可能条件\frac{d(−3x^{2}y + 2x)}{dy} = \frac{d(2y − x^{3})}{dx} を満たすの

で、全微分 df = \frac{∂f}{∂x} (x, y)dx + \frac{∂f}{∂y} (x, y)dy の形に書かれる。

\begin{matrix}f(x, y) = & ∫_{0}^{1}\{(−3x^{2}yt^{3} + 2xt)x + (2yt − x^{3}t^{3})y\}dt \\ = & −3x^{3}y \frac{1}{4} + 2x^{2} \frac{1}{2} + 2y^{2} \frac{1}{2} − x^{3}y \frac{1}{4} \\ = & y^{2} − x^{3}y + x^{2} \end{matrix}

従って、 y^{2} − x^{3}y + x^{2} = C すなわち、 y = \frac{1}{2}\{x^{3} ± \sqrt{x^{6} − 4(x^{2} − C)}\} が解である。

問 [YE] p.43 例題問 [YE] p.48 問 2.5

積分可能条件を満たすとはかぎらない平面上の微分１形式 g(x, y)dx+h(x, y)dy に対しても、もしもある平面上の関数 λ(x, y) に対して、 λ(x, y)g(x, y)dx+λ(x, y)h(x, y)dy

が完全形式ならば、すなわち、積分可能条件\frac{∂(λ(x, y)g(x, y))}{∂y} = \frac{∂(λ(x, y)h(x, y))}{∂x}

を満たせば、関数 f(x, y) で df(x, y) = λ(x, y)g(x, y)dx + λ(x, y)h(x, y)dy を満たすものが得られ、 f(x, y) = C が解となる。

このような λ(x, y) を積分因子と呼ぶ。積分因子を求める問題は難しい。

問 [YE] p.47 例題問 [YE] p.48 問 2.7 常微分方程式

常微分方程式は、 x を変数、 y を x の関数とするとき、 x, y, y′ = \frac{dy}{dx}, y′′ = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} ,

…, y^{(n)} = \frac{d^{n}y}{dx^{n}} の間の関係式

F (x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0,

あるいは

F (x, y, \frac{dy}{dx}, …, \frac{d^{n}y}{dx^{n}}) = 0

で与えられる。（将来、 y がベクトルに値を持つことも考える。） n を常微分方程式の階数と呼ぶ。

常微分方程式の解 F (x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0 を満たす x 関数 y = f(x) を解と呼ぶ。他に条件がない場合は通常、任意定数あるいは積分定数を n 個含む。その場合、

一般解と呼ぶ。

x_{0} における値 f(x_{0}) が定まっている等の条件から、任意定数の値が定まると、１つの関数が定まるが、これを特殊解と呼ぶ。

一般解から、定数の値を定めるだけでは得られない解を持つこともあり、これを特異解と呼ぶ。

特異解の例 y = 2x に接する放物線族。

y = (x − (a − 1))^{2} + 2a − 1 は、 y′ = 2(x − (a − 1)) だから、 y = \frac{(y′)^{2}}{4} + 2x − y′ + 1

を満たす。

y−2x = \frac{(y′ − 2)^{2}}{4} から y−2x = z とおくと 4z = (z′)^{2}. z′ = 2\sqrt{z}, ∫ \frac{dz}{2\sqrt{z}} = ∫ dx.

\sqrt{z} = x + C, 従って、 y − 2x = (x + C)^{2}. 積分定数を取り替えてもとの式を得る。一方、 y = 2x も解である。

参考 [YE] p.18-22.