6. ５月２５日

２変数１階線形同次微分方程式

x^{→} = (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) について、線形の微分方程式\frac{dx^{→}}{dt} = Ax^{→}, すなわち

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) あるいは\begin{cases}\frac{dx_{1}}{dt} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} \\ \frac{dx_{2}}{dt} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} \end{cases} を考える。

微分方程式を簡単にするために平面上の線形な座標変換を考える。２行２列の

行列 P = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) により、 x^{→} = P y^{→}、つまり、 (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) で

det P = p_{11}p_{22} −p_{21}p_{12} ≠ 0 とする。 P は一定の行列と考えているので、\frac{dx^{→}}{dt} = P \frac{d y^{→}}{dt}.

従って、微分方程式は、 P \frac{d y^{→}}{dt} = AP y^{→} と変形される。 P の逆行列 P^{−1} を用いて正規

形に書き直せば、\frac{d y^{→}}{dt} = P^{−1}AP y^{→} となる。

問題は、 P^{−1}AP を簡単にすることである。

この問題は、行列 A の固有値を考えることで、いくつかの場合に分かれる。固有値とは、固有多項式

det(λI − A) = det (\begin{matrix}λ − a_{11} & −a_{12} \\ −a_{21} & λ − a_{22} \end{matrix}) = (λ − a_{11})(λ − a_{22}) − a_{12}a_{21}

の解のことである。これは、実数係数の２次方程式であるから、固有値の可能性としては、異なる２つの実数、１つの実数、共役複素数の３通りがある。

（１） A の固有値が異なる２つの実数 λ_{1}, λ_{2} の場合。

(\begin{matrix}λ_{1} − a_{11} & −a_{12} \\ −a_{21} & λ_{1} − a_{22} \end{matrix}) の行列式は 0 だから、 (\begin{matrix}λ_{1} − a_{11} & −a_{12} \\ −a_{21} & λ_{1} − a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix})

となる 0 ではないベクトル（固有ベクトル） (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) が存在する。関係式を書き換え

ると

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) = λ_{1} (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix})

である。 λ_{2} に対する固有ベクトルを (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) とすると、

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) = λ_{2} (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix})

である。これらの式は

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix})

とまとめられる。従って P = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) により、 P^{−1}AP = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) となる。

微分方程式は、\frac{d}{dt} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})、すなわち\begin{cases}\frac{dy_{1}}{dt} = λ_{1}y_{1} \\ \frac{dy_{2}}{dt} = λ_{2}y_{2} \end{cases} となる。従っ

て、一般解は \begin{cases}y_{1}(t) = C_{1}e^{λ_{1}t} \\ y_{2}(t) = C_{2}e^{λ_{2}t} \end{cases} となる。 t = 0 で (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix}) を通る解は、

(\begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{λ_{1}t} & 0 \\ 0 & e^{λ_{2}t} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix}) となる。

x_{1}x_{2} 座標では、

(\begin{matrix}x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11}C_{1}e^{λ_{1}t} + p_{12}C_{2}e^{λ_{2}t} \\ p_{21}C_{1}e^{λ_{1}t} + p_{22}C_{2}e^{λ_{2}t} \end{matrix})

が一般解である。 t = 0 で (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix}) を通る解は、 (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix}) = P^{−1} (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix}) だから、

(\begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{λ_{1}t} & 0 \\ 0 & e^{λ_{2}t} \end{matrix}) P^{−1} (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})、従って (\begin{matrix}x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix}) = P (\begin{matrix}e^{λ_{1}t} & 0 \\ 0 & e^{λ_{2}t} \end{matrix}) P^{−1} (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

となる。

例。\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}4 & −6 \\ 3 & −5 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

A = (\begin{matrix}4 & −6 \\ 3 & −5 \end{matrix}) について、固有多項式は

det (\begin{matrix}λ − 4 & 6 \\ −3 & λ + 5 \end{matrix}) = (λ − 4)(λ + 5) + 6 · 3 = λ^{2} + λ − 2 = (λ − 1)(λ + 2)

固有値 1 に対する固有ベクトルは (\begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}), 固有値 −2 に対する固有ベクトルは (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}).

従って、 A (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix}) である。 (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) とおく

と、\frac{d}{dt} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}). t = 0 のときに (\begin{matrix}y_{1}(0) \\ y_{2}(0) \end{matrix}) = (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix}) となる解は

(\begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{t} & 0 \\ 0 & e^{−2t} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix}). (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix}) とすると、

\begin{matrix}(\begin{matrix}x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix}) = & (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}e^{t} & 0 \\ 0 & e^{−2t} \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix}2e^{t} & e^{−2t} \\ e^{t} & e^{−2t} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix}2e^{t} − e^{−2t} & −2e^{t} + 2e^{−2t} \\ e^{t} − e^{−2t} & −e^{t} + 2e^{−2t} \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix}) \end{matrix}

（２） A の固有値が共役複素数 λ, \overline{λ} の場合。 μ, ν を実数として λ = μ + iν とするとき、まず A が行列 (\begin{matrix}μ & −ν \\ ν & μ \end{matrix}) の場合を考え

る。この A の固有多項式は λ^{2} −2μλ+μ^{2} +ν^{2} = 0 で固有値は λ = μ+iν, \overline{λ} = μ−iν である。

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}μ & −ν \\ ν & μ \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

複素数 y_{1} + iy_{2} を考えると、

\frac{d(y_{1} + iy_{2})}{dt} = \frac{dy_{1}}{dt} + i\frac{dy_{2}}{dt} = μy_{1} − νy_{2} + i(νy_{1} + μy_{2}) = (μ + iν)(y_{1} + iy_{2})

を満たす。\frac{dz}{dt} = λz の解は, e^{λt}z^{0} であったが、この e^{λt} のテーラー展開

e^{λt} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(λt)^{n}

は、複素数 λ に対しても収束しており、\frac{d}{dt}e^{λt}z^{0} = λe^{λt}z^{0} は、複素数 λ, z^{0} に対しても成立している。

\begin{matrix}y_{1} + iy_{2} = & e^{(μ+iν)t}(y_{1}^{0} + iy_{2}^{0}) = e^{μt}e^{iνt}(y_{1}^{0} + iy_{2}^{0}) \\ = & e^{μt}(cos νt + i sin νt)(y_{1}^{0} + iy_{2}^{0}) \end{matrix}

すなわち、

y_{1} = e^{μt}(y_{1}^{0} cos νt − y_{2}^{0} sin νt)
y_{2} = e^{μt}(y_{1}^{0} sin νt + y_{2}^{0} cos νt)

となる。あるいは、

(\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{μt} cos νt & −e^{μt} sin νt \\ e^{μt} sin νt & e^{μt} cos νt \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix})

と書かれる。

一般の (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) に対して、固有多項式が、 λ^{2} − 2μλ + μ^{2} + ν^{2} = 0 (ν ≠ 0) となっているとする。

ハミルトン・ケイレイの定理から、次が成立する。

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})^{2} − 2μ (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) + (μ^{2} + ν^{2}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = 0

(\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) として任意のベクトルをとる。

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}μ & −ν \\ ν & μ \end{matrix})

となる (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) を探しているのだから、 (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) = μ (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) + ν (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) を

満たす (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) をとる。すなわち、 (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) = \frac{1}{ν} \{(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) − μ (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix})\} とお

く。このとき、

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) = \frac{1}{ν} \{(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})^{2} (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) − μ (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix})\}

= \frac{1}{ν} \{(2μ (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) − (μ^{2} + ν^{2}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) − μ (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix})\}
= −ν (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) + \frac{μ}{ν}\{\{(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) − μ (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix})\} = −ν (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix})

こうして得られた P = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) により、 P^{−1} (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) P = (\begin{matrix}μ & −ν \\ ν & μ \end{matrix}) と

なり、 (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) とおくと、 (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) についての微分方程式は

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}μ & −ν \\ ν & μ \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

となる。この微分方程式の解は

(\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{μt} cos νt & −e^{μt} sin νt \\ e^{μt} sin νt & e^{μt} cos νt \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix})

である。 x_{1}x_{2} 座標では

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = P (\begin{matrix}e^{μt} cos νt & −e^{μt} sin νt \\ e^{μt} sin νt & e^{μt} cos νt \end{matrix}) P^{−1} (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

となる。

例。\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−3 & −13 \\ 2 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

A = (\begin{matrix}−3 & −13 \\ 2 & 7 \end{matrix}) について、固有多項式は

det (\begin{matrix}λ + 3 & 13 \\ −2 & λ − 7 \end{matrix}) = (λ + 3)(λ − 7) + 2 · 13 = λ^{2} − 4λ + 5 = (λ − 2 − i)(λ − 2 + i)

となる。 (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) として、

(\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) = \frac{1}{1}\{(\begin{matrix}−3 & −13 \\ 2 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) − 2 (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})\} = (\begin{matrix}−5 \\ 2 \end{matrix})

とおくと

(\begin{matrix}−3 & −13 \\ 2 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −5 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & −5 \\ 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & −5 \\ 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) とおくと、 (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{2t} cos t & −e^{2t} sin t \\ e^{2t} sin t & e^{2t} cos t \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix})

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & −5 \\ 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}e^{2t} cos t & −e^{2t} sin t \\ e^{2t} sin t & e^{2t} cos t \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & \frac{5}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

すなわち、

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{2t} cos t − 5e^{2t} sin t & −13e^{2t} sin t \\ 2e^{2t} sin t & e^{2t} cos t + 5e^{2t} sin t \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

（３） A の固有値が１つの実数 λ の場合。固有ベクトルを (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) とすると、

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) = λ (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix})

をみたす。ここで、 det (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) ≠ 0 となるように、 (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) をとると、 ((\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}),

(\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) は基底となるから）

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) = b (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) + c (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix})

をみたす b, c がある。

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}λ & b \\ 0 & c \end{matrix})

A と P^{−1}AP = (\begin{matrix}λ & b \\ 0 & c \end{matrix}) の固有多項式は一致する。

det(λI − P^{−1}AP) = det(λP^{−1}P − P^{−1}AP) = det(P^{−1}(λI − A)P)
= det P^{−1} det(λ − A) det P = det(λ − A)

(\begin{matrix}λ & b \\ 0 & c \end{matrix}) の固有値は λ, c であるから、固有値が１つの実数 λ の場合は c = λ である。

b = 0 ならばスカラー行列で、 A = λI であったことになり、 (\begin{matrix}x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{λt} & 0 \\ 0 & e^{λt} \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

となる。

b ≠ 0 とする。固有ベクトル (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) を b (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) に取り替えると、

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix}p_{11} \\ p_{21} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix}p_{12} \\ p_{22} \end{matrix})

となる（b = 1 にとることができる）から、この新しい (\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) で (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) =

(\begin{matrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) と座標変換すると微分方程式は、 y_{1}y_{2} 座標で

\frac{d}{dt} (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

となるが、これは y_{2} については解ける形である。 y_{2}(t) = e^{λt}y_{2}^{0} となるが、このとき、 y_{1} についての方程式は線形非同次方程式である。

\frac{dy_{1}}{dt} = λy_{1} + y_{2}(t) = λy_{1} + e^{λt}y_{2}^{0}

このような方程式の解は、定数変化法により、 y_{1}(t) = C(t)e^{λt} の形で求められるのであった。これを代入すると

\frac{dC}{dt} e^{λt} + λC(t)e^{λt} = λC(t)e^{λt} + e^{λt}y_{2}^{0}

すなわち、\frac{dC}{dt} = y_{2}^{0} だから、 C(t) = y_{2}^{0}t + y_{1}^{0} となる。従って、

(\begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{λt}(y_{2}^{0}t + y_{1}^{0}) \\ e^{λt}y_{2}^{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{λt} & e^{λt}t \\ 0 & e^{λt} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix})

x_{1}x_{2} 座標では

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = P (\begin{matrix}e^{λt} & e^{λt}t \\ 0 & e^{λt} \end{matrix}) P^{−1} (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

となる。

例。\frac{d}{dt} (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−7 & 9 \\ −4 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

A = (\begin{matrix}−7 & 9 \\ −4 & 5 \end{matrix}) について、固有多項式は

det (\begin{matrix}λ + 7 & −9 \\ 4 & λ − 5 \end{matrix}) = (λ + 7)(λ − 5) + 9 · 4 = λ^{2} + 2λ + 1 = (λ + 1)^{2}

となる。固有値 −1 に対する固有ベクトルは、 (\begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix}) である。これと線形独立（１次

独立）なベクトル、例えば、 (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) をとると、 A (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−7 \\ −4 \end{matrix}) = −2 (\begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix}) − (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) を

得る。ここで、 (\begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix}) を (\begin{matrix}−6 \\ −4 \end{matrix}) にとりかえて、

(\begin{matrix}−7 & 9 \\ −4 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix}−6 & 1 \\ −4 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−6 & 1 \\ −4 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix})

を得る。 (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−6 & 1 \\ −4 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) とおくと、 (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}e^{−t} & e^{−t}t \\ 0 & e^{−t} \end{matrix}) (\begin{matrix}y_{1}^{0} \\ y_{2}^{0} \end{matrix})

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−6 & 1 \\ −4 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}e^{λt} & e^{λt}t \\ 0 & e^{λt} \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −\frac{1}{4} \\ 1 & −\frac{3}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

すなわち、

(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−6e^{−t}t + e^{−t} & 9e^{−t}t \\ −4e^{−t}t & 6e^{−t}t + e^{−t} \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1}^{0} \\ x_{2}^{0} \end{matrix})

参考。 [YE] p. 84–97.