11. ７月１３日

変数係数高階線形常微分方程式

\frac{d^{n}x}{dt^{n}} + a_{1}(t)\frac{d^{n−1}x}{dt^{n−1}} + ⋯ + a_{n−1}(t)\frac{dx}{dt} + a_{n}(t)x = b(t) は

\frac{d}{dt} ( y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{n−1} ; y_{n}) = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 1 & 0 \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 1 \\ −a_{n}(t) & −a_{n−1}(t) & … & −a_{2}(t) & −a_{1}(t) \end{matrix}) ( y_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{n−1} ; y_{n}) + ( 0 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; b(t))

と同値である。

同次方程式\frac{d^{n}x}{dt^{n}} + a_{1}(t)\frac{d^{n−1}x}{dt^{n−1}} + ⋯ + a_{n−1}(t)\frac{dx}{dt} + a_{n}(t)x = 0 の解の空間は、 n

次元ベクトル空間となる。

基底として n 個の関数 x_{1}(t), x_{2}(t), …, x_{n}(t) をとるとき、これを１組の基本解、解の基本系とよぶ。１階化した方程式の基本解行列に当たるものは、次のものである。

x_{1}  x_{2}  …  x_{n}
\frac{dx_{1}}{dt}  \frac{dx_{2}}{dt} …  \frac{dx_{n}}{dt}
\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}  \frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} … \frac{d^{2}x_{n}}{dt^{2}}
⋮  ⋮  …  ⋮
\frac{d^{n−1}x_{1}}{dt^{n−1}} \frac{d^{n−1}x_{2}}{dt^{n−1}} … \frac{d^{n−1}x_{n}}{dt^{n−1}}

これは、ロンスキー行列 Wronskian matrix と呼ばれる。この行列の行列式をロンスキアン（ロンスキー行列式）と呼び、 W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) と書く。

解 x_{1}(t), x_{2}(t), …, x_{n}(t) が解の基本系をなすことと、 W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ≠ 0 は同値である。

W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(t) = W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(t_{0})e^{− ∫_{t_{0}}^{t} a_{1}(s)ds} だから、 W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(t_{0}) ≠ 0 ならば、常に W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(t) ≠ 0 である。特に、 a_{1}(t) = 0 ならば、ロンスキー行列式は定数である。 W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(t) = W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})(t_{0})e^{− ∫_{t_{0}}^{t} a_{1}(s)ds} はリウビル Liouville の公式と呼ばれる。

非同次方程式に対し定数変化法で解をもとめるときにもロンスキー行列式が現れる。

∑ x_{k}(t)ξ_{k}(t) の形すなわち(\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & … & x_{n} \\ \frac{dx_{1}}{dt} & \frac{dx_{2}}{dt} & … & \frac{dx_{n}}{dt} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ \\ \frac{d^{n−1}x_{1}}{dt^{n−1}} & \frac{d^{n−1}x_{2}}{dt^{n−1}} & … & \frac{d^{n−1}x_{n}}{dt^{n−1}} \end{matrix} ) (ξ_{1} ; ξ_{2} ; ⋮ ; ξ_{n}) の形で、解

を求めると、

(\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & … & x_{n} \\ \frac{dx_{1}}{dt} & \frac{dx_{2}}{dt} & … & \frac{dx_{n}}{dt} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ \\ \frac{d^{n−1}x_{1}}{dt^{n−1}} & \frac{d^{n−1}x_{2}}{dt^{n−1}} & … & \frac{d^{n−1}x_{n}}{dt^{n−1}} \end{matrix} ) ( \frac{dξ_{1}}{dt} ; \frac{dξ_{2}}{dt} ; ⋮ ; \frac{dξ_{n}}{dt} ) = ( 0 ; 0 ; ⋮ ; b(t)) だから、クラメルの公式

によって\frac{dξ_{k}}{dt} = det (\begin{matrix}x_{1} & … & 0 & … & x_{n} \\ \frac{dx_{1}}{dt} & … & 0 & … & \frac{dx_{n}}{dt} \\ ⋮ & … & ⋮ & … & ⋮ \\ \frac{d^{n−2}x_{1}}{dt^{n−2}} & … & 0 & … & \frac{d^{n−2}x_{n}}{dt^{n−2}} \\ \frac{d^{n−1}x_{1}}{dt^{n−1}} & … & b(t) & … & \frac{d^{n−1}x_{n}}{dt^{n−1}} \end{matrix} ) ; det (\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & … & x_{n} \\ \frac{dx_{1}}{dt} & \frac{dx_{2}}{dt} & … & \frac{dx_{n}}{dt} \\ \frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} & \frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} & … & \frac{d^{2}x_{n}}{dt^{2}} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ \\ \frac{d^{n−1}x_{1}}{dt^{n−1}} & \frac{d^{n−1}x_{2}}{dt^{n−1}} & … & \frac{d^{n−1}x_{n}}{dt^{n−1}} \end{matrix} ). この式の分母はロンス

キアン、分子はロンスキアンの余因子に b(t) をかけたものである。

また、 n 個の解 x_{1}(t), x_{2}(t), …, x_{n}(t) に対し、 W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 0 とすると、これらは１次従属である。すなわち ∑_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}(t) = 0 となるすべてが 0 ではない実数 c_{i} が存在する。

n 個の関数 x_{1}(t), x_{2}(t), …, x_{n}(t) に対し、 W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 0 となるとき、 x_{1}(t), x_{2}(t), …, x_{n}(t) には関数関係があるという。

実際、例えば W (x_{1}, x_{2}) = 0 ならば x_{1} \frac{dx_{2}}{dt} − x_{2} \frac{dx_{1}}{dt} = 0 あるいは、\frac{dx_{2}}{dx_{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}} という関係があり、この微分方程式を解けば、 x_{2} は x_{1} の関数として表される。

線形常微分方程式を作用素と見る場合、

Lx(t) = (a_{0}(t)\frac{d^{n}}{dt^{n}} + a_{1}(t)\frac{d^{n−1}}{dt^{n−1}} + ⋯ + a_{n−1}(t)\frac{d}{dt} + a_{n}(t))x(t) と ⟨x(t), y(t)⟩ =

∫_{a}^{b} x(t)y(t)dt に対し、随伴する作用素 L^{∗} (⟨Lx, y⟩ = ⟨x, L^{∗}y⟩) を考えることが出来る。

例えば、２階の線形常微分方程式に対しては、

⟨Lx, y⟩ = ∫_{a}^{b} a_{0} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}y + a_{1}(t)\frac{dx}{dt}y + a_{2}(t)x(t)y(t)dt. 第１項は

[a_{0} \frac{dx}{dt}y]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} \frac{dx}{dt} \frac{d}{dt}(a_{0}(t)y(t))dt

= [a_{0} \frac{dx}{dt}y]_{a}^{b} − [x\frac{d}{dt}(a_{0}y)]_{a}^{b} + ∫_{a}^{b} x(t)\frac{d^{2}}{dt^{2}} (a_{0}(t)y(t))dt,

第２項は [a_{1}xy]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} x\frac{d}{dt}(a_{1}(t)y(t))dt だから、 a, b で値も微分も 0 になるような関数を考えれば、 L^{∗}y = \frac{d^{2}}{dt^{2}} (a_{0}(t)y(t)) − \frac{d}{dt}(a_{1}(t)y(t)) + a_{2}(t)y(t) となる。

２階の線形常微分方程式を、\frac{d}{dt}(p(t)\frac{dx}{dt}) + q(t)x = 0 の形に書き換えることがしばしば行われる [Y-E]。 (Sturm-Liouville).

Lx = \frac{d}{dt}(p(t)\frac{dx}{dt}) + q(t)x に対し、

⟨Lx, y⟩

= ∫_{a}^{b}(\frac{d}{dt}(p(t)\frac{dx}{dt}) + q(t)x)ydt
= [p(t)\frac{dx}{dt}y]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b}((p(t)\frac{dx}{dt})\frac{d}{dt}ydt + ∫_{a}^{b} q(t)xydt
= [p(t)\frac{dx}{dt}y]_{a}^{b} − [p(t)x\frac{dy}{dt} ]_{a}^{b} + ∫_{a}^{b} x\frac{d}{dt}(p(t)\frac{d}{dt}y)dt + ∫_{a}^{b} q(t)xydt

だから、 [ …]_{a}^{b} が 0 となるような x, y に対して L^{∗}y = Lx となる。自己随伴 selfadjoint と呼ばれる。

[p(t)(\frac{dx}{dt}y − x\frac{dy}{dt})]_{a}^{b} = ⟨Lx, y⟩ − ⟨x, Ly⟩
= ∫_{a}^{b}(\frac{d}{dt}(p(t)\frac{dx}{dt}) + q(t)x)ydt − ∫_{a}^{b}(\frac{d}{dt}(p(t)\frac{dy}{dt}) + q(t)y)xdt
= ∫_{a}^{b}(\frac{d}{dt}(p(t)\frac{dx}{dt})y − \frac{d}{dt}(p(t)\frac{dy}{dt})x)dt

となる。グリーンの公式と呼ばれる。