10. ７月６日

変数係数線形常微分方程式

\frac{d}{dt} (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) = A(t) (x_{1} ; ⋮ ; x_{n}) + (b_{1}(t) ; ⋮ ; b_{n}(t)) を考える。(b_{1}(t) ; ⋮ ; b_{n}(t)) = 0 のとき同次形とい

うが、このとき解の空間はん n 次元ベクトル空間である。すなわち t = t_{0} におけ

る初期値(x_{1}^{0} ; ⋮ ; x_{n}^{0}) によって解は定まり、(x_{1}(t) ; ⋮ ; x_{n}(t)) = G(t) (x_{1}^{0} ; ⋮ ; x_{n}^{0}) と書かれる。ただし

G(t_{0}) = I （単位行列）である。 . ここで、\frac{d}{dt}G(t) = A(t)G(t) となる。 G(t) の第 j

列は(⋮ 1 ⋮) を初期値とする解である。

det G(t) を知ることは、解についていくつかの予測をする上で重要である。すなわち、 det G(t) は t_{0} における体積１のものが t においてどうなっているかを示す。もしも、 t → ∞ のときにすべての解が 0 に収束するならば、 det G(t) → 0 となるはずである。

このとき、

定理。 det G(t) = e^{∫_{t_{0}}^{t} trA(s)ds} が成立する。

言葉を変えて言うと、 det G(t) は、\frac{d}{dt} det G(t) = trA(t) det G(t), det G(t_{0}) = 1 を満たす。すなわち、 det G(t) は、常微分方程式\frac{dx}{dt} = trA(t)x, det x(t_{0}) = 1 の解である。

実際 G(t) = (g_{1}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) であるとする (g_{i}(t) は第 i 行) と、\frac{d}{dt}G(t) = A(t)G(t) は

\frac{d}{dt}g_{i}(t) = ∑_{j=1}^{N} a_{ij}(t)g_{j}(t) ということである。

\frac{d}{dt} det G(t)

= det (\frac{dg_{1}}{dt} (t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) + det ( g_{1}(t) ; \frac{dg_{2}}{dt} (t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) + ⋯ + det ( g_{1}(t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; \frac{dg_{n}}{dt} (t))

= det (∑_{j=1}^{n} a_{1j}(t)g_{j}(t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) + det (  g_{1}(t) ; ∑_{j=1}^{n} a_{2j}(t)g_{j}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) + ⋯ + det (  g_{1}(t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{nj}(t)g_{j}(t))

= ∑_{j=1}^{n} a_{1j}(t) det (g_{j}(t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) + ∑_{j=1}^{n} a_{2j}(t) det (g_{1}(t) ; g_{j}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) + ⋯ + ∑_{j=1}^{n} a_{nj}(t) det (g_{1}(t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; g_{j}(t))

= ∑_{j=1}^{n} a_{jj}(t) det (g_{1}(t) ; g_{2}(t) ; ⋮ ; g_{n}(t)) = trA(t) det G(t)

注意。 A(t) = A, G(t) = e^{tA} のとき、 det e^{tA} = e^{t trA} となる。これはジョルダン標準形からも容易に示される。

言葉。

\frac{d}{dt} y^{→} = A(t) y^{→} の解 y^{→}_{1}(t), …, y^{→}_{n}(t) が一次独立のとき、 y^{→}_{1}(t), …, y^{→}_{n}(t) を一

組の基本解あるいは解の基本系と呼ぶ。基本解を並べた行列 G(t) を基本解行列と呼ぶ。２つの基本解行列 G_{1}(t), G_{2}(t) に対し、 B = G_{1}(t_{0})^{−1}G_{2}(t_{0}) とおくと、 G_{2}(t) =

G_{1}(t)B.

注意。基本解行列 G(t) に対し、 det G(t) は\frac{dx}{dt} = trA(t)x を満たし、 e^{∫_{t_{0}}^{t} trA(s)ds}

基本解行列のとり方にによらない。

随伴線形微分方程式. 基本解行列 G(t) は\frac{d}{dt}G(t) = A(t)G(t) を満たす。ここ

で、逆行列を考える。 G(t)^{−1} = H(t) とすると I = G(t)H(t) を微分して、 0 =

(\frac{d}{dt}G(t))H(t)+G(t)(\frac{d}{dt}H(t)) = A(t)G(t)H(t)+G(t)(\frac{d}{dt}H(t)) = A(t)+G(t)(\frac{d}{dt}H(t)).

従って\frac{d}{dt}H(t) = −H(t)A(t). 転置行列をとれば\frac{d}{dt}^{t}H(t) = −^{t}A(t)^{t}H(t).

すなわち、\frac{d}{dt} z^{→} = −^{t}A(t) z^{→} の基本解行列の１つは^{t}G(t)^{−1} で与えられる。この微

分方程式は随伴する線形微分方程式と呼ばれる。

\frac{d}{dt}( z^{→}(t) • y^{→}(t)) = (−^{t}A(t) z^{→}(t)) • y^{→}(t) + z^{→}(t) • (A(t) y^{→}(t)) = 0 となる。従って、

z^{→}(t) • y^{→}(t) の値は一定である。特に、 A(t) が交代行列 (^{t}A(t) = −A(t)) であれば、

∥ y^{→}(t)∥ は定数となる。

「随伴する」という考え方は、 L = \frac{d}{dt} − A(t) : Map(R, R^{n}) ⟶ Map(R, R^{n}) と

内積 ⟨f^{→}, g^{→}⟩ = ∫_{a}^{b} f^{→}(t) • g^{→}(t)dt について ⟨Lf^{→}, g^{→}⟩ = ⟨f^{→}, L^{∗} g^{→}⟩ すなわち、普通の行

列だったら、（共役）転置行列となるものを考えるということである。随伴するものと等しければ、対称行列と同様の良い性質を持つことが期待でき、随伴するものと合わせて 0 になれば、反対称行列と同様の良い性質を持つことが期待できる。

⟨Lf^{→}, g^{→}⟩

= ∫_{a}^{b}(\frac{df^{→}}{dt} • g^{→} − (A(t)f^{→}) • g^{→})dt
= [f^{→} • g^{→}]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b}(f^{→} • \frac{d g^{→}}{dt} + f^{→} • (^{t}A(t) g^{→}))dt
= ⟨f^{→}, L^{∗} g^{→}⟩

だから、 a, b で 0^{→} になる関数を扱っていれば、 L^{∗} = −\frac{d}{dt} −^{t}A(t) となる。

ここで、 a, b で 0^{→} とならない場合についても L^{∗} = −\frac{d}{dt} − ^{t}A(t) として書いた

⟨Lf^{→}, g^{→}⟩ − ⟨f^{→}, L^{∗} g^{→}⟩ = [f^{→} • g^{→}]_{a}^{b}, すなわち

z^{→}(b)• y^{→}(b)− z^{→}(a)• y^{→}(a) = ∫_{a}^{b}\{(\frac{d}{dt} z^{→}(t)+^{t}A(t) z^{→})• y^{→}(t)+ z^{→}(t)•(\frac{d}{dt} y^{→}(t)−A(t) y^{→}(t))\}dt

をグリーンの公式と呼ぶ。

非同次の場合。

\frac{d}{dt} y^{→} = A(t) y^{→} + b^{→}(t) に対して、

定数変化法を試みることが出来る。基本解行列 G(t) について、

y^{→}(t) = G(t) z^{→}(t) とすると、

\frac{d}{dt}(G(t) z^{→}(t)) = A(t)G(t) z^{→}(t) + G(t)\frac{d}{dt} z^{→}(t) = A(t)G(t) z^{→}(t) + b^{→}(t) を得る。

従って\frac{d}{dt} z^{→}(t) = G(t)^{−1} b^{→}(t) となるように z^{→}(t) = ∫_{t_{0}}^{t} G(s)^{−1} b^{→}(s)ds とすれば

よい。

\frac{d}{dt} y^{→} = A(t) y^{→}+ b^{→}_{i}(t) の解 y^{→}_{i}(t) が見つかっているとき、\frac{d}{dt} y^{→} = A(t) y^{→}+∑_{i=1}^{N} c_{i} b^{→}_{i}(t)

の解は ∑_{i=1}^{N} c_{i} y^{→}_{i}(t) で与えられる。（重ね合わせの原理）

変数係数線形常微分方程式で最も面白いのものは A(t) が周期的であるときである。 A(t + T) = A(t). このとき、 G(t + T) = G(t)B となる。 G(t + NT) = G(t)B^{N} だから、 B を求めることが出来れば、解の様子はかなり良くわかる。 B はフロケ Floquet の行列と呼ばれる。