1. ４月１３日

関数の微分とグラフの傾き。 y = f(x) のグラフを考える。グラフ上の点 (x_{0}, f(x_{0})) におけるグラフの傾きは、

f(x) の x_{0} における微分 f′(x_{0}) = \frac{df}{dx} (x_{0}) で与えられる。

f′(x_{0}) = \frac{df}{dx} (x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}

積分。導関数 g(x) が与えられたとき、 f′(x) = \frac{df}{dx} (x) = g(x) となる f(x) は、 f(x) =

f(x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x} g(x)dx で与えられる。 f(x_{0}) が指定されていなければ、積分定数の差を除いて f(x) は定まる。微分方程式とは何か。関数の微分が関数自体 (の値) に依存する関係を表すものが微分方程式である。例以下では、変数を明示した書き方を使う。放射性物質の崩壊：\frac{du}{dt} = −ku. ロジスティック方程式：\frac{du}{dt} = (a − bu)u. 単振動の方程式： m\frac{d^{2}u}{dt^{2}} = −ku. これらの式の意味を考えよ。上の関係式を満たす関数最初の２つの例では xu 平面上の各点 (x, u) に傾きが与えられている。この例では u

だけの関数。傾きを与える曲線が u のグラフとなる。\frac{du}{dt} = −ku ならば、 u(t) = e^{−kt}u_{0}.

最後のものは、位置 u, 速度 v = \frac{du}{dt} が状態を表し、 m = k = 1 ならば、 (\begin{matrix}u \\ v \end{matrix}) における微分 (変化率) は (\begin{matrix}v \\ −u \end{matrix}). この変化率を実現する運動が、 u の軌道となる。 uv 平面上の円となる。 m = k = 1 ならば、 u = K sin (t − t_{0}), v = K cos (t − t_{0}).

\frac{dx}{dt} = x の解き方

(0) 答えを知って当てはめる。 x = x_{0}e^{t}.

(1) 変数分離。 \frac{1}{x} \frac{dx}{dt} = 1 だから ∫ \frac{1}{x} \frac{dx}{dt}dt = ∫ 1dt. 故に、 log |x| = t + c, すなわち x = Ce^{t}.

(2) 折れ線近似。 0 で値が x_{0}, [0, t] で、傾きが x_{0} ならば、 x_{0} + tx_{0}. 0 で値が x_{0}, [0, \frac{t}{2}] で、傾きが x_{0} ならば、\frac{t}{2} での値は x_{0} + \frac{t}{2}x_{0}, [\frac{t}{2}, t] での傾きは

x_{0} + \frac{t}{2}x_{0} として、 t での値は x_{0} + \frac{t}{2}x_{0} + \frac{t}{2}(x_{0} + \frac{t}{2}x_{0}) = x_{0}(1 + \frac{t}{2})^{2}.

同様に３分割のときは、 t での値は、 x_{0} + \frac{t}{3}x_{0} + \frac{t}{3}(x_{0} + \frac{t}{3}x_{0}) + \frac{t}{3}(x_{0} + \frac{t}{3}x_{0} +

\frac{t}{3}(x_{0} + \frac{t}{3}x_{0})) = x_{0}(1 + \frac{t}{3})^{3}.

N 分割ならば、 x_{0}(1 + \frac{t}{N})^{N}. N ⟶ ∞ のとき、 x_{0}(1 + \frac{t}{N})^{N} ⟶ x_{0}e^{t} である。

(3) 冪級数解。

x = a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2} + a_{3}t^{3} + ⋯ = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n} とする。

\frac{dx}{dt} = a_{1} + 2a_{2}t + 3a_{3}t^{2} + ⋯ = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)a_{n+1}t^{n}

従って、 a_{0} = x_{0}, a_{1} = a_{0} = x_{0}, a_{2} = \frac{1}{2}a_{1} = \frac{1}{2}x_{0}, a_{3} = \frac{1}{3}a_{2} = \frac{1}{3!}x_{0}, ….

a_{n} = \frac{1}{n!}x_{0}. 従って、 x = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}x_{0}t^{n} = x_{0}e^{t}.

(4) 積分の反復。

\frac{dx}{dt} = x は、 x = x_{0} + ∫_{0}^{t} \frac{dx}{dt}dt = x_{0} + ∫_{0}^{t} xdt と同値である。

[0, t] 上で x = f_{0}(t) = 0 とする。 f_{1}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} f_{0}(t)dt = x_{0}. f_{2}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} f_{1}(t)dt = x_{0} + x_{0}t.

f_{3}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} f_{2}(t)dt = x_{0} + x_{0}t + x_{0} \frac{t^{2}}{2} .

f_{4}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} f_{3}(t)dt = x_{0} + x_{0}t + x_{0} \frac{t^{2}}{2} + x_{0} \frac{t^{3}}{3!} .

f_{n}(t) = x_{0} ∑_{k=0}^{n−1} \frac{t^{k}}{k!} とすると f_{n+1}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} f_{n}(t)dt = x_{0} ∑_{k=0}^{n} \frac{t^{k}}{k!} となる。これ

は x_{0}e^{t} に収束する。