６月１５日

常微分方程式の講義（担当：坪井 俊）の小テスト

注意。 筆記用具以外の持込は認めません。この小テストの成績は、期末試験の成績が悪い場合に考慮します。この小テストの出来が非常に悪いと思った人は７月６日までにレポートとして提出すれば、多少考慮します。

問題１．(1) 変数分離形常微分方程式\frac{dy}{dx} = (3x^{2} − 1)(y − 1)y の一般解を求めよ。

(2) 変数分離形常微分方程式\frac{dy}{dx} = (y − 2)y cos x の y(0) = 1 となる解を求めよ。

(3) 微分形式 y^{2}dx + (3xy + 2)dy は２変数関数 f(x, y) の全微分 df となるかどうか判定せよ。

(4) 上記 (3) の微分形式に\frac{1}{y^{3}} をかけて得られる微分形式\frac{1}{y} dx + \frac{3xy + 2}{y^{3}}dy は２

変数関数 f(x, y) の全微分 df となるかどうか判定せよ。

(5) １階線形常微分方程式\frac{dx}{dt} + 2tx = t の x(0) = 0 となる解を求めよ。

問題２．(1) 行列の指数関数 e^{tA} の定義を書き、行列 A = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}) に対して、 e^{tA} を計算

せよ。

(2) A = (\begin{matrix}−5 & 4 \\ −2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{−1} に対して行列の指数関数

e^{tA} を計算せよ。

(3) 次の常微分方程式の初期値問題を解け。

\frac{dx_{1}}{dt} = −5x_{1} + 4x_{2}

\frac{dx_{2}}{dt} = −2x_{1} + x_{2}

x_{1}(0) = 2, x_{2}(0) = 1

(4) 次の常微分方程式の初期値問題を解け。

\frac{dx_{1}}{dt} = −4x_{1} − 3x_{2}

\frac{dx_{2}}{dt} = 3x_{1} − 4x_{2}

x_{1}(0) = 2, x_{2}(0) = 1

問題３．a_{1}, a_{2} を実数、 b(t), c(t) を実数値関数とする。

２階線形常微分方程式\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a_{1} \frac{dx}{dt} + a_{2}x = b(t) の解 u(t),

２階線形常微分方程式\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a_{1} \frac{dx}{dt} + a_{2}x = c(t) の解 v(t) に対して、

w(t) = u(t) + v(t) は２階線形常微分方程式\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + a_{1} \frac{dx}{dt} + a_{2}x = b(t) + c(t) の

解であることを示せ。