局所対称空間のモジュラー記号の消滅定理^{∗}

(VANISHING THEOREM OF MODULAR SYMBOLS

ON LOCALLY SYMMETRIC SPACE)

小林俊行 (述) (石川哲記) Toshiyuki KOBAYASHI

半単純リー群のユニタリ表現論における最近の結果が局所対称空間のトポロジー

の研究にどのように応用されるかというテーマについて, 織田孝幸氏 (東大) との共

同研究の紹介をする。

§1. 大まかな話

\begin{matrix}X: コンパクト多様体 \\ Δ は L^{2}(X) において \\ 離散スペクトラムのみをもつ \end{matrix}^{^{⇒} \begin{matrix}Hodge 理論 \\ X のトポロジー ↔ 調和形式 \end{matrix}}

⇓ 精密化

L^{2}(Γ\G) は Ĝ の離散直和に分解する (Gelfand-Piateski-Shapiro) (’60 年代)

⇒  松島-村上の公式 (’60 年代前半)

(A)

(B)  ユニタリ表現の分岐則の 離散分解の判定条件 (小林) (’92 年) ^{^{⇒} モジュラー記号の消滅定理 (Oda-Kobayashi)}

∗ 倉敷, 加計学園国際学術交流センターでの講演記録 (1996 年 11 月 5 日 ∼ 8 日)

Typeset by AMS-TEX

「精密化」と書いたのは

X: 一般のコンパクト多様体⇒ X = Γ\G/K: コンパクト局所対称空間

という特別な場合に

調和形式⇒ (𝔤, K)-コホモロジー

と精密な道具を用いた結果であることを表す。 (A) は局所リーマン対称空間単独のトポロジー, (B) は 2 つの局所リーマン対称空間の埋め込みに関するトポロジー

の記述である。 (A) は良く知られている結果 (§3) で, (B) が本題 (§4, §5) である。

上の全ての場合において離散的な分解が鍵になっている。特に, 一段目のホッジの定理に関して, この様子を簡単な場合 (X = S^{1}, X = ℝ) に調べてみよう。

1) X = S^{1} の場合:

f = ∑_{n∈ℤ} a_{n}e^{inθ} (フーリエ級数展開).

ここで e^{inθ} は Δ の固有函数で固有値は −n^{2} であることに注意する。特に, Δ は L^{2}(S^{1}) において離散スペクトラムのみをもつことに注意しよう。 X = S^{1} の場合に

H_{deRham}^{∗}(X; ℂ) = H_{Δ}^{∗}(X) {定義 \atop =} \{ω ∈ E^{∗}(X) : Δω ≡ (dd^{∗} + d^{∗}d)ω = 0\}

↑

ホッジの定理

となることを確かめよう。

Δf = 0 ⇔ a_{n} = 0 (∀n ≠ 0)

なので,

H_{Δ}^{0}(S^{1}) = {f : Δf = 0}  ≃ ℂ, f ↦ a_{0},
H_{Δ}^{1}(S^{1}) = {fdθ : Δ(fdθ) = 0} ≃ ℂ, fdθ ↦ a_{0}.

一方,

H_{deRham}^{j}(S^{1}; ℂ) = \{ \begin{matrix}ℂ & (j = 0, 1) \\ 0 & (j ≠ 0, 1) \end{matrix}

なので確かに H_{deRham}^{∗}(X; ℂ) = H_{Δ}^{∗}(X; ℂ) が成り立っている。

2) 一方, X が non-compact の例として, X = ℝ を考える。フーリエ逆変換の公式

f(x) = ∫_{ℝ} f̃(ζ)e^{iζx}dζ

を見ると, Δ は L^{2}(ℝ) において連続スペクトラムのみ持ち, 離散スペクトラムは持たないことがわかる。 ℝ 上の調和関数の空間は,

H_{Δ}^{0}(ℝ) = {ax + b : a, b ∈ ℂ} ≃ ℂ^{2}

ドラムコホモロジーは,

H_{deRham}^{0}(ℝ; ℂ) = ℂ

で与えられる。従って,

H_{Δ}^{0}(ℝ) ≠ H_{deRham}^{0}(ℝ; ℂ)

である。すなわち, ホッジの定理に相当する結果は成り立たない。さらに, X = ℝ^{n} (n ≥ 2) ならば, H_{Δ}^{0}(ℝ) は無限次元, H_{deRham}^{0}(ℝ; ℂ) は 1 次元な

ので, やはり

H_{Δ}^{0}(ℝ) ≠ H_{deRham}^{0}(ℝ; ℂ)

となり, ホッジの定理に相当する結果は成り立たない。

§2. 準備

1) X: コンパクト向き付け可能多様体とする。次の二つの perfect pairing を思い出そう:

H^{j}(X; ℂ)×H_{j}(X; ℂ)  →ℂ, (ω, r) ↦ ∫_{r} ω,
H^{j}(X; ℂ)×H^{dim X−j}(X; ℂ) →ℂ, (ω, α) ↦ ∫_{X} ω ∧ α.

従って, 次の自然な同型が得られる (Poincaré 双対定理):

H_{j}(X; ℂ) ≃ H^{dim X−j}(X; ℂ).

以後, この双対定理によって X のホモロジー群とコホモロジー群を同一視する。

2) X:コンパクトケーラー多様体とする。このとき, 次の同型が成り立つ。

H^{n}(X; ℂ) = ⨁_{p+q=n} H^{p,q}(X) (Hodge 分解).

ここで, H^{p,q}(X) は, (p, q)-型のホッジ成分を表す。簡単に言うと harmonic form (調和形式) で左辺のコホモロジー群の代表元を書いたとき,

dz_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dz_{i_{p}} ∧ \overline{dz_{i_{1}}} ∧ ⋯ ∧ \overline{dz_{i_{q}}}

と表される元全体の集合が H^{p,q}(X) である。

3) 例 X : 種数 g の閉 Riemann 面= M_{g} (g ≥ 2) とする。次の (イ) ∼ (ニ) の 4 つの見方で考える。

\underline{イ) ホモロジー群} ホモロジー群の base を [γ_{1}], ⋯, [γ_{2g}] とする。

H_{1}(X; ℂ) ≃ ℂ^{2g}

ここで, γ_{j} を Poincaré metric に関して測地線にとることもできる。測地線によるサイクルを高次元化することは, 「全測地的部分多様体」によってホモロジー群の代表元をとるということに対応する (§4 参照) 。 \underline{ロ) コホモロジー群}

(1), (2) で述べた同型 (n = 2, j = 1) と (3 -イ) を合わせると

H_{1}(X; ℂ) ≃ H^{1}(X; ℂ) =H^{1,0}⊕H^{0,1}
∥ ∥ ∥
ℂ^{2g}  ℂ^{g} ℂ^{g}

\underline{ハ) 変換群}

M_{g} の基本群 π_{1}(M_{g}) は普遍被覆 M̃_{g} に effective, かつ, biholomorphic に作用する (covering transformation) 。さらに, 普遍被覆 M̃_{g} はポアンカレ平面と双正則である。すなわち,

M̃_{g} ⟶^{π_{1}(M_{g})} M_{g} (普遍被覆)

∥ H = {z ∈ ℂ : Im z > 0} (ポアンカレ平面).

従って, π_{1}(M_{g}) は次のようにして P SL(2, ℝ) の部分群とみなすことができる。

π_{1}(M_{g}) ⊂_{discrete} Aut_{bihol}(M̃_{g}) = Aut_{bihol}(H) ≃ P SL(2, ℝ)

一方, ポアンカレ平面は等質多様体として H ≃ P SL(2, ℝ)/SO(2) と表されるので,

M_{g} ≃ π_{1}(M_{g})\M̃_{g} ≃ π_{1}(M_{g})\P SL(2, ℝ)/SO(2)

と表される。すなわち, M_{g} は P SL(2, ℝ) の両側剰余類に自然に複素多様体の構造を入れた空間と双正則である。この観点から, リーマン面 M_{g} は上半空間 H ≃ P SL(2, ℝ)/SO(2) の\underline{クリフォード = クライン形}であるという。 \underline{ニ) 表現論的な見方}

L^{2}(π_{1}(M_{g})\P SL(2, ℝ)) = L^{2}(Γ\G) を Γ\G 上の L^{2}-関数のなす Hilbert 空間とする。 (ここで, Γ = π_{1}(M_{g}), G = P SL(2, ℝ) とおいた。 )

π_{+} : G の正則離散系列表現で, infinitesimal character が trivial なもの
π_{−}: G の反正則離散系列表現で, infinitesimal character が trivial なもの

と書くと,

Hom_{G}(π_{±}, L^{2}(Γ\G)) ≃ ℂ^{g}

が成り立つ。この等式は, (ハ) で述べた H^{1,0} ⊕ H^{0,1} = ℂ^{g} ⊕ ℂ^{g} に対応している (後述する松島-村上の定理の特別な場合) 。

§3. 高次元化の復習

前節で考えた設定は, ポアンカレ平面 SL(2, ℝ)/SO(2) のクリフォード=クライン形

M_{g} ≃ π_{1}(M_{g})\P SL(2, ℝ)/SO(2) = Γ\G/K

であった。一般に次のような設定で考える。

Γ  ⊂  G  ⊃  K
余コンパクト線型極大コンパクト
離散部分群半単純リー群リー群

Fact 3.1. Γ を G の捻れ元のない (torsion free), 余コンパクト, 離散部分群とする。 1) (Borel, Harish-Chandra, Mostow, 玉河 ([Bo],[BoHa],[MoTa])) このような Γ は

存在する。

2) (Gelfand-Piateski-Shapiro [GGP])

L^{2}(Γ\G) = _{\begin{matrix}∑ & ⊕ \\ π∈Ĝ \end{matrix}}n_{Γ}(π)π (離散直和)

(2) のポイントは, 連続スペクトラムが存在しないことと, n_{Γ}(π) < ∞ が各 π 毎に有限であることである。

3) (Matsushima-Murakami,[MM],[BW])

H_{deRham}^{∗}(Γ\G/K; ℂ) = ⨁_{π∈Ĝ} n_{Γ}(π)H^{∗}(𝔤, K; π_{K}) (実際は, 右辺は有限和)

局所対称空間のモジュラー記号の消滅定理 7

(左辺は, de Rham の定理より, topological なコホモロジーと同型, 右辺は continuous コホモロジーでも良い。 )

右辺の n_{Γ}(π) ∈ ℕ は, Γ に依存する,

右辺の H^{∗}(𝔤, K; π_{K}) は表現論で記述できる (Γ に依存しない) 因子である

ことに注意しよう。

4) (Kumaresan, Vogan-Zuckerman ([Ku],[V2]))

H^{∗}(𝔤, K; π_{K}) ≠ 0 ⇒ π_{K} = “A_{𝔮}” (^{∃}𝔮 ⊂ 𝔤; θ-stable parabolic subalgebra)

ここで, A_{𝔮} = A_{𝔮}(0) は Zuckerman の導来函手加群 (§6 参照) で, A_{𝔮} には Casimir 作用素が 0 で作用する。 π_{K} = A_{𝔮} のとき, H^{∗}(𝔤, K; A_{𝔮}) は計算可能。

\underline{Fact 3.1 (後半部分) についてのコメント}

Γ\G/K の余接ベクトル束を Γ\G →_{K} Γ\G/K (K-主束) に同伴したベクトル束として表すと,

T^{∗}(Γ\G/K) = Γ\G ×_{K} 𝔭^{∗}

となる。

𝔤_{0} = Lie(G) = 𝔨_{0} + 𝔭_{0}  (Cartan 分解)
𝔤 = 𝔤_{0} ⊗_{ℝ} ℂ = 𝔨 + 𝔭

従って, Γ\G/K 上の j-次の微分形式の空間は

E^{j}(Γ\G/K) = (C^{∞}(Γ\G) ⊗ ∧^{j}(𝔭^{∗}))^{K} = Hom_{K}(∧^{j}𝔭, C^{∞}(Γ\G))

と表される。

(π_{K}, V_{K}): 既約ユニタリ (𝔤, K)-加群 (これは以下の議論を正確にするためで, 本質的な部分は (π, V): G の既約ユニタリ表現としても大差はない) としよう。

H^{∗}(𝔤, K; π_{K})  ℂ^{n_{Γ}(π)}
∥  ∥ [GGP]
T_{π}: Hom_{K}(∧^{∗}𝔭, π_{K}) ⊗ Hom_{(𝔤,K)}(π_{K}, C^{∞}(Γ\G)) → E^{∗}(Γ\G/K)
ψ  ⊗  φ  ↦  φ ∘ ψ

この写像 T_{π} の像を記述するために, 次の notation を用いる。

𝔤 = Lie(G) ⊗ ℂ
∩
U(𝔤) : enveloping algebra
∪
Z(𝔤) : 中心
∪
c_{G} : Casimir 作用素

カシミール作用素 c_{G} は E^{j}(Γ\G/K) にラプラシアンとして作用するので, G の c_{G} が 0 に作用する空間を考えることと, 調和形式 (harmonic form) を考えることは同値である。

π は既約なので, π(c_{G}) は scalar で V_{K} に作用する (Schur の補題) 。

∴ Image T_{π} ⊂ {ω ∈ E^{∗}(Γ\G/K) : Δω = π(c_{G})ω}
∴ Image T_{π} ⊂ H_{Δ}^{∗}(Γ\G/K) ⟺ π(c_{G}) = 0

以上から,

H_{Δ}^{∗}(Γ\G/K) = H_{deRham}^{∗}(Γ\G/K; ℂ)

= ⨁_{\begin{matrix}π_{K} : 既約ユニタリ (𝔤,K) 加群 \\ π(c_{G})=0 \end{matrix}}Image(T_{π})

= ⨁_{\begin{matrix}π_{K} : 既約ユニタリ (𝔤,K) 加群 \\ π(c_{G})=0 \end{matrix}}n_{Γ}(π)H^{∗}(𝔤, K; π_{K})

これが Fact 3.1 (3) と (4) の大まかな説明である。

H^{∗}(π : Γ) := n_{Γ}(π)H^{∗}(𝔤, K; π)

とおき, これを π-component と呼ぶことにする。なお, 右辺が有限和であるのは次の定理による:

局所対称空間のモジュラー記号の消滅定理 9

Fact 3.2. π(c_{G}) = 0 かつ Hom_{K}(∧^{∗}𝔭, π_{K}) ≠ 0 となる π は有限個。

Fact 3.2 の精密化が次の Vogan-Zuckeman による結果であり, これが Fact 3.1 (4) に対応する。 Fact 3.3 ([V2]). π が π(c_{G}) = 0 かつ Hom_{K}(∧^{∗}𝔭, π_{K}) ≠ 0 ⇒ π ≃ A_{𝔮} (^{∃}𝔮).

§4. モジュラー記号 (本題)

この節では

Y  ⊂^{ι}  X
∥  ∥
Γ′\G′/K′ ⊂ Γ\G/K

の埋め込みの位相を考える。ここでの設定は以下の通り: \underline{設定}

Γ ⊂ G ⊃ K
∪ ∪ ∪
Γ ∩ G′ =Γ′ ⊂ G′ ⊃ K′ = G′ ∩ K

但し,

G, G′  : 連結線型簡約リー群
Γ, Γ′  : torsion free discrete subgroup
K, K′  : G, G′ の極大コンパクト部分群
Γ\G, Γ′\G′: コンパクト

このとき ι: Y ⊂ X は全測地的部分多様体を与える。すなわち, Y の任意の測地線は X の測地線でもある。埋め込み写像 ι: Y → X が誘導するホモロジー群の準同型写像:

ι_{∗}: H_{∗}(Y; ℂ) → H_{∗}(X; ℂ)

10 Toshiyuki Kobayashi

特に, dim Y -次における準同型写像

ι_{∗}: H_{dim Y} (Y; ℂ) → H_{dim Y} (X; ℂ) (≃ H^{codim Y} (X; ℂ))

を考える。 H_{dim Y} (Y; ℂ) ≃ ℂ なので, H_{dim Y} (Y; ℂ) の生成元を [Y] とする。 [Y] の ι_{∗} による像 ι_{∗}[Y] を generalized modular symbol (モジュラーシンボル, モジュラー記号) と呼ぶ。 \underline{定理 1}. 上記の設定で, G′ を非コンパクト簡約部分群, π ∈ Ĝ, π ≠ 1 とする。 \underline{仮定}

dim Hom_{K′}(τ, π) < ∞ (∀τ ∈ K̂′)

\underline{結論}次の消滅定理がなりたつ:

ι_{∗}[Y] ⊥ H^{dim Y} (π : Γ)
∩  ∩
H_{dim Y} (X; ℂ) × H_{deRham}^{dim Y}(X; ℂ) → ℂ (自然なペアリング)

証明は ⊥ H^{dim Y} (π : Γ) の各代表元を ι^{∗} で引き戻してサイクル Y 上で積分した値が 0 になることを言えば良いが, そのときのキーポイントは次の表現論の結果である ([K1], Theorem 1.2): \underline{補題}. 定理 1 の仮定⇒ G のユニタリ表現 π の G′ への制限 π_{|_{G′}} は

π|_{G′} = _{\begin{matrix}∑ & ⊕ \\ τ∈Ĝ′ \end{matrix}}m_{π}(τ)τ (Hilbert 空間の直和)

と離散分解される。ここで, m_{π}(τ) < ∞ (∀τ ∈ Ĝ′) が成り立つ。さらに, (𝔤, K)-加群のレベルでは, (𝔤′, K′)-加群として

π_{K} ≃ ⨁_{τ_{K′}:既約 (𝔤′,K′)-加群}m_{π}(τ)τ_{K′} (代数的直和).

ここでの重要なポイントは π|_{G′} の既約分解に連続スペクトラムが存在しないことである。松島-村上の公式の証明に使われる Gelfand-Piateski-Shapiro の結果:

L^{2}(Γ\G) = _{\begin{matrix}∑ & ⊕ \\ π∈Ĝ \end{matrix}}n_{Γ}(π)π
L^{2}(Γ′\G′) = _{\begin{matrix}∑ & ⊕ \\ τ∈Ĝ′ \end{matrix}}n_{Γ′}(τ)τ

と Γ′\G′ ↪ Γ\G に応じて関数を引き戻したときの compatibility を与えるのが, 表現の制限の離散分解定理 (上の補題) である。

§5. IV 型の有界対称領域のモジュラー記号の (n, n) 型ホッジ成分

例. §4 の結果を (G, G′) = (SO_{0}(2n, 2), SO_{0}(2n, 1)) に対して適用する。このとき (K, K′) = (SO(2n) × SO(2), SO(2n)) であることに注意する。自然な埋め込み写像

ι: Y ↪ X

は totally geodesic (全測地的) であるのみならず, “totally real” すなわち, local には,

ℝ^{2n} ⊂ ℂ^{2n}

という埋め込みになっている。この例では, dim Y = codim Y = 2n となるので,

H_{2n}(X; ℂ) ≃_{Poincare 双対}H^{2n}(X; ℂ) =_{Hodge 分解} ⨁_{p+q=2n} H^{p,q}(X)
∪  ∪  ∪
ι_{∗}[Y]  ↦  M (Y)  = ∑_{p+q=2n} M^{p,q}(Y)

コンパクト双対 G_{U} = SO(2n + 2) ⊃ G′_{U} = SO(2n + 1) に対して同様の埋め込みを考えよう:

Y_{U}  ↪_{ι_{U}}  X_{U}
∥  ∥
G′_{U}/K′ ⊂ G_{U}/K
∥  ∥
S^{2n}  complex quadric

こちらは, 離散群 Γ によらず, リー代数だけで決まる簡単な話である。 ι: Y ↪ X の場合と同様に, ι_{U}: Y_{U} ↪ X_{U} に対する「モジュラーシンボル (記号) 」 ι_{U}_{∗}[Y_{U}] を定義し, ポアンカレ双対の元を M(Y_{U}) と書く。

H_{2n}(Y_{U}; ℂ) →^{ι_{U}_{∗}}H_{2n}(X_{U}; ℂ) ≃ H^{2n}(X_{U}; ℂ) = ⨁_{p+q=2n} H^{p,q}(X)
∪  ∪  ∪  ∪
[Y_{U}] ↦ ι_{U}_{∗}[Y_{U}] ↔ M (Y_{U}) ∈ H^{n,n}(X_{U})

ここでのポイントは M^{p,q}(Y_{U}) = 0, (p, q) ≠ (n, n) が成り立つことである。さらに, G, G_{U} の共通の複素化を用いた自然な環準同型 (単射)

γ: H^{∗}(X_{U}; ℂ) → H^{∗}(X; ℂ)

があり ([K-On]), Γ の像は普遍コモロジー類といわれる。このとき, 織田孝幸氏によって予想された次の結果が証明される:

定理 2 (織田の予想).

M^{n,n}(Y) = \frac{vol(Y)}{vol(X)}γ(M(Y_{U}))

定理 2 の証明のキーポイントは次の補題である:

補題. (n, n)-type に寄与する π-component (π ∈ Ĝ, π ≠ 1) は, \underline{全て}定理 1 の仮定を満たす。

§6. 定理 1 の仮定の判定条件について

定理 1 の仮定の判定条件を明確に与えよう。例えば, 直前の補題はこの判定条件により証明される。 Fact 3.1 (4) より, π = A_{𝔮} (Vogan-Zuckerman の導来函手加群) の場合に考えればよい。この節は, [K1] にもとづく。もう少し丁寧な (日本語による) 解説と背景の説明は [K6] を参照されたい。

まず, A_{𝔮} の復習をする。 A_{𝔮} については [KnV],[V1] に詳しい代数的構成法が説明されている。ここでは [K5] に従って幾何的な構成法 (Zuckerman の本来のアイディアで最近証明された) を復習する。

𝔤_{0} =𝔨_{0} + 𝔭_{0}

∪ maximal abelian subspace 𝔱_{0}

Δ^{+}(𝔨, 𝔱) : fix
C̄⊂\sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗} : dominant Weyl chamber

H ∈ \sqrt{−1}𝔱_{0} を fix しておく。 ad(H) の 𝔤 への作用を考えると, 固有値は全て実数である。

𝔤 = \overline{𝔲} ⊕ 𝔩 ⊕ 𝔲

を ad(H) の固有空間の直和で, それぞれの固有値が −, 0, + に対応するものとする。 𝔮 := 𝔩 ⊕ 𝔲 は 𝔤 の放物型代数で, θ-stable parabolic subalgebra と呼ばれる。

𝔩 = Lie(L) ⊗_{ℝ} ℂ

= ∑_{α(H)=0} 𝔤(𝔱; α),

𝔲 = ∑_{α(H)>0} 𝔤(𝔱; α),
\overline{𝔲} = ∑_{α(H)<0} 𝔤(𝔱; α)

に注意しよう。 𝔤, 𝔮 に対応する複素リー群を G_{ℂ} ⊃ Q とし,

L = {g ∈ G : Ad(g)H = H}

とおく。上記の記号の下で,

Ad(K) · H ⊂ Ad(G) · H = G/L ⊂^{open} G_{ℂ}/Q(generalized Borel embedding)

が成り立つ (証明は, 例えば, [K-On], Appendix 参照) 。特に, G = SL(2, ℝ), H = \sqrt{−1} ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) とすると, 上の埋め込みは, 上半平面が P^{1}ℂ に open に埋め込まれていることに対応する。 S = dim_{ℂ} Ad(K) · H = \frac{1}{2} dim K/L ∩ K とする。

A_{𝔮} =^{def} HS ; ¯∂(G/L, Ω_{G/L})_{K}

とする。これは, 一般には G の無限次元既約表現となる。 H が regular の場合は, A_{𝔮} は G の離散系列表現の構成に関する Langlands 予想の smooth version に対応する。

ℝ_{+}⟨𝔲 ∩ 𝔭⟩ = \{ ∑_{α∈Δ(𝔲∩𝔭,𝔱)} n_{α}α : n_{α} ≥ 0\} ⊂_{closed cone} \sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗}

と定義する。 ℝ_{+}⟨𝔲 ∩ 𝔭⟩ は閉錐である。他方,

G ⊃ G′  (簡約部分群)

が与えられたときリー代数の埋め込み 𝔤 ⊃ 𝔤′ に対応して

(𝔤′)^{⊥} := Ker(𝔤^{∗} → (𝔤′)^{∗}) ⊂ 𝔤^{∗} ≃_{Killing form} 𝔤
C̄(G′) := C̄ ∩ Ad(K)(𝔤′)^{⊥} ⊂ \sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗}

とおく。ここで, 𝔤 上の非退化な対称双線型形式 (例えば 𝔤 が semisimple のとき Killing form) を用いて, 𝔤 と 𝔤^{∗} を同一視したり, 𝔱^{∗} ⊂ 𝔤^{∗} とみなしたりしている。設定をまとめると,

π = A_{𝔮}  ⇒  ℝ_{+}⟨𝔲 ∩ 𝔭⟩ {閉錐 \atop ⊂} \sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗}
(G, G′)  ⇒  C̄(G′) {閉集合 \atop ⊂}\sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗}

となる。なお, (G, G′) が対称対の場合, C̄(G′) は閉部分空間となる。

定理 3 ([K1], Theorem 3.2).

ℝ_{+}⟨𝔲 ∩ 𝔭⟩ ∩ C̄(G′) = {0}

⇒ 定理 1 の仮定は満たされる。

なお, 定理 3 の仮定は sharp であると考えられる。実際, Proposition ([K3], Theorem 4.2). (G, G′) が symmetric pair ならば, 定理 3 の仮定は, A_{𝔮} が (𝔤′, K′) に関して離散分解可能となるための必要十分条件である。

§7. 判定条件の適用例

この章の内容は当日の講演では述べられなかったものであるが, 定理 3 の判定条件を使い方の「コツ」について, 講演者よるメモを掲載する。

例. G = U(2, 2), G′ = Sp(1, 1) の時, 定理 3 の判定条件を適用してみる。 K = U(2)× U(2) の Cartan subalgebra を 𝔱_{0} とし, \sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗} の base e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} を △^{+}(𝔨, 𝔱) = \{e_{1} − e_{2}, e_{3} − e_{4}\} となるように選んで\sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗} ≃ ℝ^{4} と同一視する。 dual base を用いて\sqrt{−1}𝔱_{0} も ℝ^{4} と同一視する。このとき,

C̄(G′) = \{(x, x, y, y) : x, y ∈ ℝ\} ⊂ \sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗} = ℝ^{4}

となる。一方, 例えば, (4, 1, 3, 2) ∈ \sqrt{−1}𝔱_{0} に対する 𝔤 の θ-stable parabolic subalgebra を 𝔮 とすると,

△(𝔲 ∩ 𝔭, 𝔱) = {e_{1} − e_{3}, e_{1} − e_{4}, −e_{2} + e_{3}, −e_{2} + e_{4}}

となる。従って,

ℝ_{+}⟨𝔲 ∩ 𝔭⟩ = \{(a + b, −c − d, −a + c, −b + d) : a, b, c, d ≥ 0\}(⊂ \sqrt{−1}𝔱_{0}^{∗} = ℝ^{4})

となる。ここで, a + b = −c − d と a, b, c, d ≥ 0 より a = b = c = d = 0 なので,

C̄(G′) ∩ ℝ_{+}⟨𝔲 ∩ 𝔭⟩ = {0}

となり, 従って, π = A_{𝔮} は定理 1 の仮定を満たす。同様の計算により,

(G, G′) = (U(2, 2), Sp(1, 1))

の場合, 18 個の互いに異なる既約ユニタリ (𝔤, K)-加群 A_{𝔮} の内, 12 個が定理 1 の仮定を満たすことがわかる ([K1], Example 3.7; [K3], Proposition 7.5 参照) 。

References

[Bo] A. Borel, Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces, Topology 2 (1963), 111-122.

[BoHa] A. Borel and Harish-Chandra, Arithmetic subgroups of algebraic groups, Ann. of Math. 75 (1962), 485-535.

[BW] A. Borel and N. Wallach, Continuous Cohomology, Discrete Subgroups, and Representations of Reductive Groups, Ann. Math. Stud. 94, Princeton U.P., 1980.

[GGP] I. M. Gelfand, M. I. Graev and I. Piatecki-Šapiro, Representation Theory and Automorphic Functions, Saunders Math. Books, 1969.

[KnV] A. Knapp and D. Vogan, Cohomological Induction and Unitary Representations, Princeton University Press, 1995.

[K1] T. Kobayashi, Discrete decomposability of the restriction of A_{𝔮}(λ) with respect to reductive subgroups and its applications, Invent. Math. 117 (1994), 181-205.

[K2] , Discrete decomposability of the restriction of A_{𝔮}(λ) with respect to reductive subgroups II — micro-local analysis and asymptotic K-support, Annals of Math. (to appear).

[K3] , Discrete decomposability of the restriction of A_{𝔮}(λ) with respect to reductive subgroups III — restriction of Harish-Chandra modules and associated varieties, Invent. Math. (to appear).

[K4] , The Restriction of A_{𝔮}(λ) to reductive subgroups. I, II, Proc. Acad. Japan 69 (1993), 262-267; 71 (1995) 24-26.

[K5] , 簡約型等質多様体上の調和解析と表現論, 数学「論説」 46 (1994), 日本

数学会 (岩波書店), 124-143.

[K6] , ユニタリ表現の制限とその応用について, 表現論シンポジウム予稿集

(三河ハイツ, November 19–22) (1996), 131-141.

[K-On] T. Kobayashi and K. Ono, Note on Hirzebruch’s proportionality principle, J. Fac. Soc.

Univ. of Tokyo 37-1 (1990), 71-87.

[K-Od] T. Kobayashi and T. Oda, Vanishing of modular symbols on locally symmetric spaces,

Commentarii Mathematici Helvetici (to appear).

[Ku] S. Kumaresan, The canonical 𝔨-types of the irreducible unitary 𝔤-modules with non-zero relative cohomology, Invent. Math. 59 (1980), 1-11.

[MM] Y. Matsushima and S. Murakami, On vector bundle valued harmonic forms and automorphic forms on symmetric spaces, Ann. Math. 78 (1963), 365-416.

[MoTa] G.D.Mostow and T.Tamagawa, On the compactness of arithmetically defined homogeneous spaces, Ann. of Math. 76 (1962), 446-463.

[O] T. Oda, On modular forms associated with indefinite quadratic forms of signature (2, n− 2), Math. Ann. 231 (1977), 97-144.

[V1] D. Vogan, Representations of Real Reductive Lie Groups, Progress in Mathematics 15, Birkhäuser, 1981.

[V2] D. Vogan and Zuckerman, Unitary representations with non-zero cohomology, Comp. Math. 53 (1984), 51-90.

Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo, Meguro, Komaba, 153, Tokyo, Japan E-mail address: toshi@ms.u-tokyo.ac.jp