代数学 XF(2000 年度夏学期) 講義予定斎藤毅

この講義では, 局所体上の多様体についての Bloch の導手公式とその証明について解説する.

有理数係数の方程式で定義された代数多様体は, 有限個の素数をのぞきよい還元をもつ. 代数多様体 X がわるい還元をもつような素数 p は, X にとって特徴的なものである. このような各素数 p に対し, X の p での還元のわるさを表わす導手とよばれる不変量が定義される. これはエタール・コホモロジーを使って定義され, 整数の値をとる.

S.Bloch は微分形式の層の局所化された Chern 類によって, この不変量が表わされるという公式を予想として定式化した. 多様体の次元が 0 のときは, これは代数的整数論の古典的な公式と一致する. また X が楕円曲線のときは, 有名な Ogg の公式と一致する. Bloch は予想を定式化すると同時に, 代数曲線に対しては, 公式を証明している.

昨年, 加藤和也氏との共同研究により, この公式を高次元のかなり一般の多様体に対し, 証明することができた. この講義ではこの公式について解説する. 公式とその証明には局所体の Galois 理論, 交点理論, エタール・コホモロジー, log 幾何など数論幾何のさまざまな理論が使われる. これらについて解説するとともに, 証明の概要についても説明する. 講義の内容は大体次のようになる予定です.

1. 局所体の Galois 群とその ℓ 進表現.

2. Chow 群と Chern 類. 局所化された Chern 類, 正則モデルの微分形式の層.

3. エタール・コホモロジーと Lefschetz 跡公式.

4. 連接層の K 群と Grothendieck-Riemann-Roch.

5. Herbrand 類と局所化された交点理論.

6. log 対角写像と log 微分形式.

7. de Jong の alteration とその応用.

8. log エタール・コホモロジーの Lefschetz 跡公式.

基本的な概念の定義は, 講義中に簡単に復習する予定だが, 予備知識としては, 局所体 [1], スキーム [2] などは最低限必要である. さらにエタール・コホモロジー [3], 交点理論 [4] などにもある程度はなじんでいないと難しいと思う.

References

[1] J.-P. Serre, Corps Locaux, Hermann.

[2] R.Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.

[3] P. Deligne et al. Cohomologie étale, SLN 569.

[4] W. Fulton, Intersection theory, Springer.

3/10-4/7 までの連絡先

Centre Emile Borel, Institut Henri Poincaré, 11 Rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, France.

e-mail: t-saito@ms.u-tokyo.ac.jp