数学 IV 演習問題 (2001.11.9) http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/mIV/mIV.html

問題 A = (\begin{matrix}6 & −3 & −7 \\ −1 & 2 & 1 \\ 5 & −3 & −6 \end{matrix}) とする。

(1) A の固有多項式と固有値 a_{1}, a_{2}, a_{3} を求めよ.

(2) 各固有値a_{1}, a_{2}, a_{3} に対し, 固有空間の基底x_{1} = (x_{11}, x_{21}, x_{31}), x_{2} = (x_{12}, x_{22}, x_{32}), x_{3} = (x_{13}, x_{23}, x_{33}) をそれぞれ 1 つずつ与えよ.

(3) P = (\begin{matrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix}) , D = (\begin{matrix}a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} \end{matrix}) とおく。 AP = P D となることを確

かめよ。 (4) 逆行列 P^{−1} を求めよ。

(5) P^{−1}AP = D となることを確かめよ。