数学 III 演習問題 (2001.10.17) 問題 1.1 次の関数 z = f(x, y) のグラフの点 (x, y, z) = (a, b, c) での接平面の方程式を求めよ.

\begin{matrix}(1) & f(x, y) = x^{2} − y^{2}, & (a, b, c) = (1, 1, 0), \\ (2) & f(x, y) = log(x^{2} + y^{2}), & (a, b, c) = (1, 1, log 2). \end{matrix}

問題 1.2 r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} < π で定義された f(x, y) を次のように定める

f(r cos θ, r sin θ) = \begin{cases}\frac{θ}{r} & 0 ≤ θ ≤ r のとき, \\ 2 − \frac{θ}{r} & r ≤ θ ≤ 2r のとき, \\ 0 & 2r ≤ θ ≤ 2πのとき. \end{cases}

h^{2} + k^{2} = 1 をみたす (h, k) に対し, t の関数 F (t) を F (t) = f(th, tk) で定義する. 次のことがなりたつことを示せ.

(1) 上のような任意の (h, k) に対し, 関数 F (t) は t = 0 で微分可能である.

(2) 偏微分 f_{x}(0, 0), f_{y}(0, 0) はどちらも 0 である.

(3) 関数 f(x, y) は点 (x, y) = (0, 0) で連続でない.

(4) 関数 f(x, y) は点 (x, y) = (0, 0) で全微分可能でない.

問題 1.3 f(x, y) を, 点 (x, y) = (a, b) で全微分可能な x, y の関数とする.

(1) g(t), h(t) を t = c で微分可能な t の関数とし, g(c) = a, h(c) = b であるとする. このとき, 合成関数 F (t) = f(g(t), h(t)) は t = c で微分可能で

F′(c) = \frac{∂}{∂x}f(a, b)g′(c) + \frac{∂}{∂y} f(a, b)h′(c)

がなりたつことを示せ.

(2) g(s, t), h(s, t) を点 (s, t) = (c, d) で全微分可能な s, t の関数とする. g(c, d) = a, h(c, d) = b であるとする. 合成関数 F (s, t) = f(g(s, t), h(s, t)) は, 点 (s, t) = (c, d) で全微分可能で

\frac{∂}{∂s}F (c, d) = \frac{∂}{∂x}f(a, b)\frac{∂}{∂s}g(c, d) + \frac{∂}{∂y} f(a, b)\frac{∂}{∂s}h(c, d)

\frac{∂}{∂t}F (c, d) = \frac{∂}{∂x}f(a, b)\frac{∂}{∂t}g(c, d) + \frac{∂}{∂y} f(a, b)\frac{∂}{∂t}h(c, d)

がなりたつことを示せ.