2000 年度 3 学期数理科学 I(2 年理 I 19-23 組斎藤毅) 試験問題

(2000.7.21 9:00-10:40, 答案用紙両面 1 枚, 計算用紙 1 枚, 答案用紙が足りないときは 1 枚だけ追加をもらって下さい.

筆記用具以外持ち込みできません)

答案用紙は仮に白紙でも名前を書いて提出して下さい. 最後の答だけを書くのではなく, 途中の計算をくわしく書いて下さい. この点が不十分な場合は大き

く減点されることがあります。とくに公式を使う場合は, それをどのように適用したのかできるだけくわしく書いて下さい.

問題 1 Lagrange 未定係数法を必ず使って, 条件 x^{2} + 3y^{2} = 12 の下での, 関数\frac{1}{3}x^{3} − y^{3} + 6y^{2} の極値をす

べて求めよ. 最大値, 最小値も求めよ.

問題 2 整数 n, m ≥ 0 に対し, I(n, m) = ∫_{0}^{π/2} cos^{n} t sin^{m} tdt とおく.

(1) D を原点を中心とする半径 1 の円板のうち, 第一象限にある部分 {(x, y) ∈ R^{2}|x^{2} + y^{2} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} とする. 重積分 ∫_{D} x^{n}y^{m}dxdy を極座標に変換して計算することにより, この積分を I(n, m) を使って表わせ.

(2) C を原点を中心とする半径 1 の円周のうち, 第一象限にある部分 {(x, y) ∈ R^{2}|x^{2} + y^{2} = 1, x ≥ 0, y ≥ 0} とする. 線積分 ∫_{C} x^{n}y^{m}dy を曲線 C のパラメータ表示を使って計算することにより, この積分を I(n′, m′) を使って表わせ. (ただし n′, m′ は n, m で定まるある整数をあらわすものとする.)

(3) Green の公式を使って (2) の線積分を D 上の重積分を使って表わせ. (Green の公式が適用できる理由を正しく書いてないと, 答があっていても大きく減点されます.)

(4) (1),(2),(3) で求めた式を使って, I(n + 2, m) を I(n, m) で表わす漸化式をもとめよ. これを使って I(4, 4), I(5, 3) の値を求めよ.

問題 3 C を方程式 x^{3} + y^{3} − 3xy = 8 で定義される曲線とする.

(1) C の点 (x, y) = (\sqrt{\frac{8}{3}}, −\sqrt{\frac{8}{3}}) での接線の方程式を求めよ.

(2) 次のことに注意して, C の概形を図示せよ. ・座標軸との交点の位置. ・座標軸と平行な接線をもつ点の位置. ・接線の傾きの正負. ・座標軸と平行な各直線との交点の個数.

略解. 1. f(x, y) = x^{2} + 3y^{2} とおく. 曲線 f(x, y) = 12 上では f_{x}(x, y) = 2x, f_{y}(x, y) = 6y は同時には 0 にならない. したがってこの曲線上のすべての点で Lagrange 未定係数法が適用できる. 点 (x, y) で関数 h(x, y) = \frac{1}{3}x^{3} − y^{3} + 6y^{2} が極値をもったとすると, 2x : 6y = h_{x}(x, y) : h_{y}(x, y) = x^{2} : −3y^{2} + 12y. これを解くと, x = 0, y = 0 または x + y = 4. したがって極値をとりうる点は (0, ±2), (±2\sqrt{3}, 0), (3, 1) の 5 点のみ.

y = g(x) を x^{2} + 3y^{2} = 12 の局所的な解とすると, 合成関数 k(x) = h(x, g(x)) の導関数は k′(x) = \frac{x^{2}·6y−(−3y^{2}+12y)2x}{6y} = x(x + y − 4). したがって, (0, ±2) で極大値, (±2\sqrt{3}, 0) で極小値をとり, (3, 1) では極値をとらない. (0, ±2) での値は 16, 32, (±2\sqrt{3}, 0) での値は ±8\sqrt{3} だから, 最大値は (0, −2) での値 32, 最小値は (−2\sqrt{3}, 0) での値 −8\sqrt{3}.

2(1) ∫_{D} x^{n}y^{m}dxdy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{π/2} r^{n+m+1} cos^{n} θ sin^{m} θdrdθ = \frac{1}{n + m + 2}I(n, m).

(2) C のパラメータ表示を x(t) = cos t, y(t) = sin t, (0 ≤ t ≤ \frac{π}{2} ) とすると,

∫_{C} x^{n}y^{m}dy = ∫_{0}^{π/2} cos^{n} t sin^{m} ty′(t)dt = I(n + 1, m).

(3) C_{1} を点 (0, 0) と (1, 0) をむすぶ線分, C_{2} を点 (0, 1) と (0, 0) をむすぶ線分とする. C_{1} と C と C_{2} をつなげたものは D のまわりを正の向きにちょうど一回りする曲線だから Green の公式により

∫_{C_{1}} x^{n}y^{m}dy + ∫_{C} x^{n}y^{m}dy + ∫_{C_{2}} x^{n}y^{m}dy = ∫_{D} nx^{n−1}y^{m}dxdy.

∫_{C_{1}} x^{n}y^{m}dy = 0 であり, ∫_{C_{2}} x^{n}y^{m}dy は n ≠ 0 なら 0, n = 0 のときは −\frac{1}{m+1}. したがって

∫_{C} x^{n}y^{m}dy = ∫_{D} nx^{n−1}y^{m}dxdy + \begin{cases}0 & n ≠ 0 のとき \\ \frac{1}{m+1} & n = 0 のとき. \end{cases}

(4) I(n + 2, m) = ∫_{C} x^{n+1}y^{m}dy = ∫_{D}(n + 1)x^{n}y^{m}dxdy = \frac{n + 1}{n + m + 2}I(n, m).

I(m, n) = I(n, m) も使って,

I(4, 4) =\frac{3}{8}I(2, 4) = \frac{3 · 1 · 3 · 1}{8 · 6 · 4 · 2}I(0, 0) = \frac{3}{128} \frac{π}{2} = \frac{3π}{256},
I(5, 3) =\frac{4 · 2 · 2}{8 · 6 · 4}I(1, 1) = \frac{1}{12} · \frac{1}{2} = \frac{1}{24}.

3 (1)f(x, y) = x^{3} + y^{3} − 3xy とおくと, f_{x}(x, y) = 3(x^{2} − y), f_{y}(x, y) = 3(y^{2} − x). C の点 (x, y) =

(\sqrt{\frac{8}{3}}, −\sqrt{\frac{8}{3}}) での接線の方程式は

(\frac{8}{3} + \sqrt{\frac{8}{3}})x + (\frac{8}{3} − \sqrt{\frac{8}{3}})y = \frac{16}{3}.

(2) ・座標軸との交点の位置は (0, 2), (2, 0).

・点 (a, b) で x 軸と平行な接線をもつとすると, f_{x}(a, b) = 3(a^{2}−b) = 0. これを方程式 x^{3}+y^{3}−3xy = 8 に代入して解くと, a^{3} = 4, −2. したがって (a, b) = (\sqrt[3]{4}, 2\sqrt[3]{2}), (−\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}). 同様に y 軸と平行な接線をもつ点は (2\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}), (\sqrt[3]{4}, −\sqrt[3]{2}).

・接線の傾きは −\frac{f_{x}(x,y)}{f_{y}(x,y)} だから, これは −(x^{2} − y)(y − x^{2}) と同符号.

・ y = b とおくと, x の 3 次式 x^{3} + b^{3} − 3bx − 8 は, b > 0 なら x = ±\sqrt{b} で極値をとり, b ≤ 0 なら単調増加. b > 0 とする. (±\sqrt{b}, b) での x^{3} + b^{3} − 3bx − 8 の値は b > 2\sqrt[3]{2} でどちらも正. \sqrt[3]{4} < b < 2\sqrt[3]{2} で一方が正, 他方が負, 0 < b < \sqrt[3]{4} でどちらも負. したがって直線 y = b との交点の個数は

b > 2\sqrt[3]{2} または b < \sqrt[3]{4} のとき 1
b = 2\sqrt[3]{2} または b = \sqrt[3]{4} のとき 2
2\sqrt[3]{2} > b > \sqrt[3]{4} のとき 3.

y 軸と平行な直線についても同様.