代数学 II 演習問題 (2001.12.13) http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html

問題 8.1 R = C[X]/(X^{2}) とする.

(1) R の極大根基 J_{R} を求めよ.

(2) R 加群 R は半単純でないことを示せ.

(3) R のイデアルで R 加群 R の直和因子でないものを与えよ.

問題 8.2 R を体 K 上の行列環 M_{n}(K) とし, N を単純左 R 加群 K^{n} とする. (1) 自然な写像 K → End_{R}(N) は環の同型であることを示せ.

(2) e_{1}, …, e_{n} を N = K^{n} の標準基底とし, 左 R 加群の同型 R → N^{n} を A ↦ (Ae_{i})_{i} で定める. 合成写像

R^{o} → End_{R}(R) → End_{R}(N^{n}) → M_{n}(End_{R}(N)) → M_{n}(K)

を求め, それが環の同型であることを確かめよ.

(3) R の極大左イデアル m_{1}, …, m_{n} で ⋂_{i=1}^{n} m_{i} = 0 をみたすものを 1 組与え, J_{R} = 0 であることを確かめよ.

問題 8.3 R を Hamilton の 4 元数体 H とする.

(1) 自然な写像 R^{o} → End_{R}(R) は同型であることを示せ.

(2) 環の同型 R^{o} → R を与えよ.

問題 8.5 G を有限群, K を体とし, R = K[G] を群環とする.

(1) I = {∑_{g∈G} a_{g}g ∈ K[G]| ∑_{g∈G} a_{g} = 0} は R の両側イデアルであることを示せ.

(2) G の位数が K で可逆とする. R の両側イデアル J で R = I ⊕ J となるものを求めよ.

問題 8.6 G を 3 次の対称群とする. σ ∈ G の Q^{3} への作用を e_{i} ↦ e_{σ(i)} で定めることにより, Q^{3} を左 Q[G] 加群と考えたものを V で表わす.

(1) 左 Q[G] 加群 V を単純左 Q[G] 加群の直和として表わせ.

(2) 左 Q[G] 加群 Q[G] を単純左 Q[G] 加群の直和として表わせ.