代数学 II 演習問題 (2001.11.22) http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html

問題 7.1 G を位数 n の巡回群とし C[G] を群環とする.

(1) C 上の環の同型 C[G] → C[X]/(X^{n} − 1) → C^{n} (直積環) を与えよ.

(2) 単純 C[G] 加群はすべて C 上 1 次元であることを示せ. 単純 C[G] 加群の同型類は n 個あることを示せ.

(3) C[G] 加群 C[G] を単純加群の直和に分解せよ.

(4) V を C[G] 加群とし, σ を G の生成元とする. σ の V への作用は対角化可能であることを示せ. σ の固有ベクトルからなる V の基底を使って V を単純 C[G] 加群の直和に分解せよ. 問題 7.2 K を元の個数が素数 p の有限体とし, G を位数が p の巡回群とする. K[G] を群環とする.

(1) 環の同型 K[G] → K[X]/(X^{p}) を与えよ.

(2) 単純 K[G] 加群はすべて K 上 1 次元であることを示せ. 単純 K[G] 加群の同型類は 1 個だけであることを示せ.

(3) K[G] 加群 K[G] は単純加群の直和にならないことを示せ

(4) 環 K[G] の極大根基, 巾零根基を求めよ. 問題 7.3 G を 3 次の対称群とする. 準同型 Q[G] → M_{3}(Q) を e_{σ} ↦ (e_{i} ↦ e_{σ(i)}) で定める.

(1) この準同型の核の生成元 a で a^{2} = a を満たすものを求めよ.

(2) この準同型の像から直積環 Q × M_{2}(Q) への同型を与えよ.

(3) 環の同型 Q[G] → Q × Q × M_{2}(Q) を与えよ. 問題 7.4 (1) R を環とする. 環 R の巾零元 a が R の任意の元 x と可換ならば, a は R の極大根基にはいることを示せ.

(2) G を位数 n の有限群とする. 可換環 A 上の群環 A[G] の元 a = ∑_{g∈G} e_{g} は a^{2} = na をみたすことを示せ.

(3) G が位数 n の有限群で, K が標数が n をわりきる体なら群環 K[G] の極大根基は 0 でないことを示せ. 問題 7.5 (1) 次の環のうちで長さ有限なものをすべて選べ.

Z, K[X], Z/nZ, K[X]/(f(X)), M_{n}(K), K[G].

ただし K は体, n は自然数, f(X) は最高次係数が 1 の多項式, G は有限群を表わす. (2) (1) の長さ有限な環が, 半単純になるための n, f(X), G に関する条件を求めよ.

(3) (2) のことを使って, 固有多項式が重根をもたないような行列 A ∈ M_{n}(C) は対角化できることを示せ. 問題 7.6 K を体とする.

(1) 次の環の極小素イデアルをすべて求めよ.

K[X, Y]/(XY), K[X, Y]/(X^{2} + Y^{2}).

(2) 次の環の巾零根基, 極大根基を求めよ.

K[X, Y](X^{2}, XY), K[[X]](巾級数環), Z/60Z.