代数学 II 演習問題 (2001.11.15) http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html

問題 6.1 次の R 加群 M の組成列を与えよ.

(1) R = Z, M = Z/30Z.

(2) K = Q, R, C, R = K[X], M = K[X]/(X^{3} − 2).

(3) R = M_{n}(R), M = R.

問題 6.2 K を体とする.

(1) M_{n}(K) 加群 K^{n} は単純加群であることを示せ.

(2) R = M_{n}(K) の極大左イデアル m と R 加群の同型 R/m → K^{n} を一つ与えよ.

(3) V_{0} を単純R加群K^{n} とする. R加群V に対しK 線型空間W をW = Hom_{R}(V_{0}, V) と定める. 標準写像 V_{0} ⊗_{K} W → V は R 加群の同型であることを示せ.

問題 6.3 次の有限群の組成列を求めよ.

(1) 4 次対称群 S_{n}

(2) GL_{2}(F_{2}), GL_{2}(F_{3}).

(3) Hamilton 4 元数体の乗法群の有限部分群 {±1, ±i, ±j, ±k}.

(4) \{(\begin{matrix}±1 & 0 \\ 0 & ±1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & ±1 \\ ±1 & 0 \end{matrix})\}.