代数学 II 演習問題 (2001.10.11)

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html

問題 2.1 M を R 加群とし, M_{1}, M_{2} を M の部分 R 加群とする.

(1) R 加群の準同型 M_{1} ⊕ M_{2} → M : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} + x_{2} の像は和 M_{1} + M_{2} と等しく, 核は共通部分 M_{1} ∩ M_{2} と同型であることを示せ.

(2) M が M_{1} と M_{2} の直和であるためには, M_{1} + M_{2} = M かつ M_{1} ∩ M_{2} = 0 であることが必要十分なことを示せ

問題 2.2 M = Z とし, N を M の部分加群 2Z とする. M の部分加群 M′ で M = N ⊕M′ となるものはないことを示せ.

問題 2.3 M, N を R 加群, f : M → N, g : N → M を R 線型写像で f ∘ g = id_{N} をみたすものとする. M_{1} = Ker f, M_{2} = Im g とおく. このとき M = M_{1} ⊕ M_{2} であり, f の M_{2} への制限 f|_{M_{2}} : M_{2} → N は同型であることを示せ.

問題 2.4 0 → M′ → M → M′′ → 0 を R 加群の完全系列とする.

(1) M′′ が自由加群ならば M は M′ と M′′ の直和と同型なことを示せ.

(2) さらに M′ が自由加群ならば M も自由加群であることを示せ.

(3) R を可換環で, M, M′, M′′ が有限生成自由加群ならば, M の階数は M′ の階数と M の階数の和であることを示せ.

問題 2.5 Z 加群の準同型 f : Z → Z^{2} を, f(x) = (x, 2x) で定め, g : Z^{2} → Z を, g(x, y) = 10x − 6y で定める. M_{1} を f の像とし, M_{2} を g の核とする.

(1) M_{1} と M_{2} の生成元をそれぞれ求めよ.

(2) Z^{2} は M_{1} と M_{2} の直和であることを示せ.

問題 2.6 Z 加群の準同型 f : Z^{2} → Z を, f(1, 0) = 3, f(0, 1) = 4 とおくことにより定め, g : Z → Z^{2} を, 1 の像を (8, −6) とおくことにより定める.

(1) f が全射であること, g が単射であること, f ∘ g = 0 であることを示せ.

(2) f の核の生成元を求めよ. 商加群 Ker f/Im g は Z/2Z と同型であることを示せ.

問題 2.7 Z 加群の準同型 f : Z^{2} → Z^{2} を, f(1, 0) = (4, 8), f(0, 1) = (6, 12) とおくことにより定める.

(1) f の核の生成元を求めよ. f の像の生成元を求めよ.

(2) f に準同型定理を適用して得られる同型を求めよ.

(3) Z × Z/2Z から f の余核への同型を定めよ.