代数学 II 演習問題 (2001.10.04)

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/t̃-saito/algII/algIIp.html

A. 代数学 I の復習

問題 A1 n ≥ 1 を正の整数とする. n の正の約数 m に対し, 環 Z/nZ のイデアル mZ/nZ を対応させる写像は, 全単射 {n の正の約数} → {Z/nZ のイデアル} を定めることを示せ.

問題 A2 R で実数体 C で複素数体を表わす. X の像を\sqrt{−1} とおくことで定まる環の準同型 R[X] → C の核を求め, C を多項式環 R[X] の剰余環 (=商環) として表わせ.

問題 A3 中国の剰余定理を使って, 環 Z/35Z の乗法群 (Z/35Z)^{×} は, 巡回群の直積 Z/12Z × Z/2Z と同型であることを示せ.

問題 A4 K を体とする. K 上の 1 変数多項式環 K[X] は PID(=単項イデアル整域) であることを示せ. 2 変数多項式環 K[X, Y] は PID でないことを示せ.

問題 A5 有理数体 Q 上の 1 変数多項式環 Q[X] の素イデアル p に対し Z[X] の素イデアル p ∩ Z[X] を対応させる写像は, 全単射 {Q[X] の素イデアル } → {p は Z[X] の素イデアルで p ∩ Z = {0}} を定めることを示せ.

B. 代数学 II

問題 1.1 R を環とする.

(1) 多項式環 R[X] は R 加群として自由加群であることを示せ.

(2) I を集合とする. i ∈ I に対し, e_{i} ∈ R^{(I)} を第 i 成分が 1 で他の成分は 0 であるような元とする. 自由加群 R^{(I)} は集合 S = {e_{i}|i ∈ I} で生成されることを示せ.

(3) I が無限集合ならば直積 R^{I} = ∏_{i∈I} R は S で生成されないことを示せ.

問題 1.2 V を体 K 上の線型空間とし f を V の K 線型な自己準同型とする. 講義でいったように V が多項式環 K[X] 上の加群とみなせることを, 加群の公理を直接確かめよ.

問題 1.3 R を環とする. R に加法はもとのままで乗法 ∗ : R × R → R を a ∗ b = ba とおいて定義して得られる環を R の逆転環とよび R^{o} と書く.

左 R 加群は自然に右 R^{o} 加群とみなせることを示せ.

問題 1.4 K を体とし G を群とする. G の K 上の線形表現は群環 K[G] 上の加群とみなせるということを正確に定式化し証明せよ.

問題 1.5 X を C^{∞} 多様体とし, E を X 上のベクトル・バンドルとする.

(1) A を X 上の C^{∞} 級関数全体のなす環 C^{∞}(X) とし, M を E の C^{∞} 級切断全体のなす加群 C^{∞}(X, E) とする. M は自然に A 加群であることを示せ.

(2) X が円周 S^{1} で E が Möbius バンドルのとき, M は自由 A 加群でないことを示せ.