代数学 II 演習問題 (2001.1.24) http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/∼t-saito/algII/algIIp.html

問題 11.1 Z 加群 Q は, 射影加群でないことを示せ.

問題 11.2 G を GL_{2}(R) の部分群 \{(\begin{matrix}±1 & 0 \\ 0 & ±1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & ±1 \\ ±1 & 0 \end{matrix})\} とする.

(1) G の共役類をすべてもとめよ.

(2) G の 1 次指標 G → C^{×} をすべてもとめよ.

(3) G の指標表を求めよ.

(4) G の既約 2 次元表現 G → M_{2}(C) を 1 つ与えよ.

(5) C 上の環の同型 C[G] → C^{4} × M_{2}(C) を 1 つ与えよ.

(6) R 上の環の同型 R[G] → R^{4} × M_{2}(R) を 1 つ与えよ.

問題 11.3 G を Hamilton の 4 元数体 H の乗法群の部分群 {±1, ±i, ±j, ±k} とする. (1) G の共役類をすべてもとめよ.

(2) G の 1 次指標 G → C^{×} をすべてもとめよ.

(3) G の指標表を求めよ.

(4) G の既約 2 次元表現 G → M_{2}(C) を 1 つ与えよ.

(5) C 上の環の同型 C[G] → C^{4} × M_{2}(C) を 1 つ与えよ.

(6) R 上の環の同型 R[G] → R^{4} × H を 1 つ与えよ.

問題 11.4 R ⊂ M_{3}(R) を, 行列

E_{12} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) , E_{21} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

によって生成される部分環 R = R[E_{12}, E_{21}] とする.

(1) R の R 線型空間としての次元を求めよ.

(2) M = R^{3} とおき, 乗法 R × M → M : (A, x) ↦ Ax により, M を左 R 加群と考える. R 加群 M の部分 R 加群をすべて求めよ.

(3) M の単純部分 R 加群は, ちょうど 2 つあることを示せ.

(4) (3) で求めた単純部分 R 加群を N_{1}, N_{2} とする. 写像

R → End_{R}(N_{1}) × End_{R}(N_{2}) : a ↦ (a 倍, a 倍)

は, R 上の環の同型であることを示せ.