代数学 II 演習問題 (2002.1.10) 問題 9.1 R を可換環とする. R 上の環の同型 R[X] ⊗_{R} R[X] → R[X, Y] を定義せよ.

問題 9.2 K を体とし, L を K の有限次拡大とする. 次の条件は同値であることを示せ. (1) L は K の n 次分離拡大である.

(2) K̄ を K の代数閉包とすると, L ⊗_{K} K̄ は直積環 K̄^{n} と K̄ 上の環として同型である.

(3) K の拡大体 M で, L ⊗_{K} M が直積環 M^{n} と M 上の環として同型となるようなものが存在する.

問題 9.3 H を Hamilton の 4 元数体とする.

(1) R 上の環の準同型 f : H → M_{2}(C) を 1 つ与えよ.

(2) g : H ⊗_{R} C → M_{2}(C) を g(x ⊗ y) = f(x)y で定義すると, g は C 上の環の同型であることを示せ.

(3) h : H ⊗_{R} H → End_{R}(H) を h(x ⊗ y)(z) = xzȳ で定義すると, h は R 上の環の同型であることを示せ.

問題 9.4 R を可換環とし, S ⊂ R を積閉部分集合とする. R 加群 M に対し, 標準写像 S^{−1}R ⊗_{R} M → S^{−1}M : a/s ⊗ m ↦ am/s は同型であることを確かめよ.

問題 9.5 R を可換環, I_{1}, I_{2}, …, I_{n} を R のイデアルとする. M = ⨁_{i=1}^{n} R/I_{i} とおく. (1) R 加群の同型 Λ^{q}M → ⨁_{i_{1}<···<i_{q}} R/(I_{i_{1}} + ⋯ + I_{i_{q}}) を定義せよ.

(2) I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ ⋯ ⊂ I_{n} がイデアルの増大列ならば, R 加群 Λ^{q}M の零化域 AnnΛ^{q}M は I_{q} であることを示せ.

(3) I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ ⋯ ⊂ I_{n}, J_{1} ⊂ J_{2} ⊂ ⋯ ⊂ J_{n} がイデアルの増大列で, R 加群 ⨁_{i=1}^{n} R/I_{i} と ⨁_{i=1}^{n} R/J_{i} が同型ならば, i = 1, …, n に対し, I_{i} = J_{i} であることを示せ.

問題 9.6 R を可換環, M, N を有限生成自由 R 加群, f : M → N を R 線型写像とする. A を f の M, N のある基底に関する行列表示とする.

(1) A のすべての成分で生成される R のイデアルは, Imf ⊂ IN を満たす最小のイデアルであり, したがって M, N の基底のとりかたによらないことを示せ.

(2) 自然数 q に対し, A のすべての q 次小行列式で生成される R のイデアル I_{q} は, M, N の基底のとりかたによらないことを示せ.

(3) R が整域であるとする. N の基底 x_{1}, …, x_{n} と R の元 a_{1}, …, a_{n} で, Imf が a_{1}x_{1}, …, a_{n}x_{n} で生成されかつ (a_{1}) ⊃ (a_{2}) ⊃ ⋯ ⊃ (a_{n}) をみたすものがあるとする. このとき, q = 1, …, n に対し, I_{q} = (a_{1} ⋯ a_{q}) であることを示せ.

(4) R が PID であるとする. n を N の階数とし, N/Imf が ⨁_{i=1}^{n} R/(a_{i}) と同型かつ (a_{1}) ⊃ (a_{2}) ⊃ ⋯ ⊃ (a_{n}) であるとする. このとき, q = 1, …, n に対し, I_{q} = (a_{1} ⋯ a_{q}) であることを示せ.

問題 9.7 I を A = Z[\sqrt{−5}] のイデアル (2, 1 + \sqrt{−5}) とする. 次のようにして I は射影 A 加群であることを示せ.

(1) A 加群の全射 A^{2} → I : e_{1} ↦ 2, e_{2} ↦ 1 + \sqrt{−5} の核 J は (1 + \sqrt{−5})e_{1} − 2e_{2} と 3e_{1} − (1 − \sqrt{−5})e_{2} で生成される.

(2) P を (1 + \sqrt{−5})e_{1} − 3e_{2} と 2e_{1} − (1 − \sqrt{−5})e_{2} で生成される A^{2} の部分加群とすると, A^{2} は P と J の直和である.

(3) 合成写像 P → A^{2} → I は同型である.