1999 年度代数学 I 演習問題 I (1999.4.22)

I-1. G を群とする。 G の元 x に対し、写像 L_{x} : G → G, R_{x} : G → G をそれぞれ y ↦ xy, y ↦ yx で定める。写像 L_{x} : G → G, R_{x} : G → G はどちらも全単射であることを示せ。

I-2. V を ℝ 線型空間とし, GL(V) = {f : V → V, f は ℝ 線型同型} とおく.

(1) GL(V) は写像の合成に関し群をなすことを示せ.

(2) V^{∗} = {ℓ : V → ℝ, ℓは線型形式} を V の双対空間とする. 線型写像 f : V → V に対しその双対 f^{∗} : V^{∗} → V^{∗} を ℓ ↦ ℓ ∘ f で定める. f ∈ GL(V) なら f^{∗} ∈ GL(V^{∗}) であり, 写像 GL(V) → GL(V^{∗}) : f ↦ (f^{∗})^{−1} は群の準同型であることを示せ.

(3) V = ℝ^{n} のとき, GL(V) = GL_{n}(ℝ), V = V^{∗} と自然に同一視できる. このとき (2) の準同型は A ↦ ^{t}A^{−1} で与えられることを示せ.

I-3. G を群とする. 写像 G → G : x ↦ x^{−1} が群の準同型であるためには、 G が可換であることが必要十分であることを示せ。

I-4. n > 1 なら、行列の指数写像 exp : M_{n}(ℝ) → GL_{n}(ℝ) は群の準同型ではないことを示せ。

I-5 群 G に対し, Aut(G) = {G から G への群の同型} とおく.

(1) Aut(G) は写像の合成に関して群をなすことを示せ.

(2) 写像 ad : G → Aut(G) : x ↦ (y ↦ xyx^{−1}) は群の準同型であることを示せ.

(3) (2) の写像 ad の核 ad^{−1}(id_{G}) は G の中心

{x ∈ G| 任意の y ∈ G に対し, xy = yx がなりたつ}

と等しいことを示せ.

I-6. G を群とする. 写像 {ℤ から G への群の準同型} → G を f ↦ f(1) で定める。この写像は全単射であることを示せ。

I-7. C_{n} を位数 n の巡回群とする.

(1) G を群とする. 写像 {C_{n}から G への群の準同型} → G を f ↦ f(1) で定める。この写像は単射で, 像は {x ∈ G|x^{n} = 1} であることを示せ。

(2) 整数 a に対し, 準同型 [a] : C_{n} → C_{n} を x ↦ x^{a} で定める. 群の準同型 C_{n} → C_{n} はすべてある整数 a によって [a] と表わされることを示せ. [a] = [b] となるための条件を求めよ. 合成写像 [a] ∘ [b] は何か. [a] が同型であるための条件を求めよ.

(3) d を n の約数とすると, C_{n} の部分群で位数が d のものがただ 1 つあることを示せ. この部分群は位数 d の巡回群であることも示せ.

(4) C_{n} = ∐_{d|n}{x ∈ C_{n}|x の位数は d} となることを使って, n = ∑_{d|n} φ(d) を示せ.

(5) m, n を自然数とする。有限集合

{C_{m}から C_{n} への群の準同型}

の元の個数を求めよ.

I-8 群 G の部分群がちょうど 2 個であるためには, G が素数位数の巡回群であることが必要十分なことを示せ.

I-9. 3 次対称群 S_{3} の部分群をすべて求めよ。 C_{6} の部分群のようすと比較せよ。

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1999 年度代数学 I 演習問題 II (1999.5.6)

前回の追加問題

I-10 G を群とし, x, y を G の元とする. 次を示せ.

(1) x^{2} = x なら x は G の単位元である.

(2) xy = e なら y は x の逆元である.

(3) n, m ∈ ℤ に対し, 指数法則 x^{n+m} = x^{n}x^{m}, x^{nm} = (x^{n})^{m} がなりたつ.

I-11(済) n ≥ 3 なら対称群 S_{n} は非可換なことを示せ.

I-12 群の準同型 S_{n} → GL_{n}(ℝ) : σ ↦ A_{σ} を次のように定めると, それは単射であることを示せ.

1 ≤ i ≤ n に対し, e_{i} で第 i 成分が 1 で他の成分は 0 の単位ベクトルを表す. σ ∈ S_{n} に対し, A_{σ} ∈ GL_{n}(ℝ) を A_{σ}e_{i} = e_{σ(i)}(1 ≤ i ≤ n) で定まる行列とする.

I-13(済) 写像 exp : ℝ → ℝ^{×}, log : {x ∈ ℝ^{×} : x > 0} → ℝ は群の準同型であることを示せ.

I-14(済) f : G → G′ を群の準同型とする. f(e) = e′, f(x^{−1}) = f(x)^{−1} を示せ.

II

II-1 (1) C_{2} × C_{3} ≃ C_{6} だが C_{2} × C_{2} ≄ C_{4} なことを示せ.

(2) C_{n} × C_{m} ≃ C_{nm} となるための n, m についての条件を求めよ.

(3) C_{2} × C_{2} の部分群をすべて求めよ. C_{3} × C_{3} の部分群もすべて求めよ.

II-2 位数 2n の正 2 面体群 D_{n} の部分群をすべて求めよ. そのうち正規部分群であるものをすべて求めよ.

II-3 S_{n} の部分群 H = {σ ∈ S_{n}|σ(n) = n} は S_{n−1} と同型なことを示せ. n > 2 なら H は正規部分群でないことを示せ.

II-4 O_{2}(ℝ) ∩ GL_{2}(ℤ) = {A ∈ M_{2}(ℤ)|^{t}AA = 1} を求めよ.

II-5 B_{n} = {A = (a_{ij}) ∈ GL_{n}(ℝ)|a_{ij} = 0(i < j)} ⊃ U_{n} = {A = (a_{ij}) ∈ B_{n}|a_{ij} = 1(i = j)} とおく.

(1) U_{n} は B_{n} の正規部分群であり, 商群 B_{n}/U_{n} は (ℝ^{×})^{n} に同型であることを示せ.

(2) n > 1 なら U_{n} は GL_{n}(ℝ) の正規部分群ではないことを示せ.

II-6 (1) 群の準同型 ℝ^{×} → GL_{n}(ℝ) で, 標準全射 GL_{n}(ℝ) → GL_{n}(ℝ)/SL_{n}(ℝ) との合成が det : GL_{n}(ℝ) → ℝ^{×} がひきおこす同型 GL_{n}(ℝ)/SL_{n}(ℝ) → ℝ^{×} の逆写像となるものをひとつ与えよ.

(2) 群の準同型 {±1} → S_{n} で, 標準全射 S_{n} → S_{n}/A_{n} との合成が sgn : S_{n} → {±1} がひきおこす同型 S_{n}/A_{n} → {±1} の逆写像となるものをひとつ与えよ.

II-7 G を群とし H, K ⊂ G をその部分群とする. H ∪ K が G の部分群なら H ⊂ K か K ⊂ H かのどちらかがなりたつことを示せ.

II-8 H を群 G の部分集合とする. 関係 x^{−1}y ∈ H が G の同値関係であるためには H が部分群であることが必要条件であることを示せ. (十分条件であることは講義でやった.)

II-9 (1) 各自然数 n に対し, 4 次対称群 S_{4} の位数が n の元が何個あるか求めよ.

(2) S_{4} の正規部分群をすべて求めよ.

(3) 2 < m < n とする. 全射準同型 S_{n} → S_{m} をすべて求めよ.

1999 年度代数学 I 演習問題 III (1999.5.13)

前回の追加問題

II-5(1) B_{n} は GL_{n}(ℝ) の部分群であることを示せ.

III-1 n を自然数とし, 写像 f : D_{2n} → S_{n} を次のように定める. P_{k} = (cos \frac{2πk}{n} , sin \frac{2πk}{n}), k = 1, 2, …, n を正 n 角形の頂点とする. A ∈ D_{2n} にたいし, AP_{k} = P_{σ_{A}(k)} で定まる σ_{A} ∈ S_{n} を対応させる.

(1) f が群の準同型であることを示せ.

(2) f が単射となるためには, n > 2 が必要十分であることを示せ.

(3) f が全射となるためには, n ≤ 3 が必要十分であることを示せ.

(4) n > 3 なら f の像は正規部分群でないことを示せ.

III-2 GL_{n}(ℝ) の中心はスカラー行列全体であることを示せ.

III-3 n > 2 なら S_{n} の中心は単位元だけからなることを示せ.

III-4 G, G′ を群とする. 第 1 射影 p_{1} : G × G′ → G : (x, y) ↦ x は群の準同型であることを示せ. その核は群の単射準同型 G → G × G′ : x ↦ (x, e′) の像と一致することを示せ.

III-5 G を群とし, H, K をその正規部分群とする. H ∩K = 1 なら, 写像 H ×K → G : (h, k) ↦ hk は群の単射準同型であることを示せ. さらに HK = G なら G ≃ H × K であることを示せ.

III-6 集合 X に対し, S(X) で X から X への全単射全体が写像の合成に関してなす群を表す. 群 G の集合 X への作用を与えることと, 群の準同型 G → S(X) を与えることとは同じことであることを示せ.

III-7 G = GL_{n}(ℝ) の対称行列全体 S_{n} = {A ∈ M_{n}(ℝ)|^{t}A = A} への作用を (P, A) ↦ P A^{t}P で定める.

(1) 単位行列 I の固定部分群は O_{n}(ℝ) であることを示せ.

(2) 正定値な対称行列全体が, 単位行列 I の軌道であることを示し, したがってこれは GL_{n}(ℝ)/O_{n}(ℝ) と同一視されることを示せ.

(3) 商集合 G\S_{n} の完全代表系を 1 組与えよ.

III-8 G = GL_{2n}(ℝ) の交代行列全体 A_{2n} = {A ∈ M_{n}(ℝ)|^{t}A = −A} への作用を (P, A) ↦ P A^{t}P で定める.

(1) 行列 J = ( \begin{matrix}0 & 1_{n} \\ −1_{n} & 0 \end{matrix} ) の固定部分群は Sp_{2n}(ℝ) であることを示せ.

(2) 非退化な交代行列全体が, 行列 J の軌道であることを示し, したがってこれは GL_{2n}(ℝ)/Sp_{2n}(ℝ) と同一視されることを示せ.

(3) 商集合 G\A_{2n} の完全代表系を 1 組与えよ.

III-9 G = GL_{n}(ℂ) の M_{n}(ℂ) への作用を (P, A) ↦ P AP^{−1} で定める.

(1) 行列( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ & & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & 0 \\ & & & & 1 \\ 0 & & … & & 0 \end{matrix} ) の固定部分群を求めよ.

(2) 商集合 G\M_{n}(ℂ) の完全代表系を 1 組与えよ.

III-5 (1) 連続な群の準同型 ℝ → O_{2}(ℝ) は C^{1}-級であることを示せ.

(2) \{ 連続な群の準同型ℝ → O_{2}(ℝ)\} → ℝ を f ↦ f_{∗}(\frac{∂}{∂t}) の第 2 成分で定めるとこれは全単射であることを示せ.

(3) 1 ∈ ℝ に対応する連続準同型 ℝ → O_{2}(ℝ) は θ ↦ ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) で与えられ

ることを示せ.

1999 年度代数学 I 演習問題 IV (1999.5.27)

IV-1 次の群の準同型の像と核をそれぞれ求め、その標準分解を与えよ。

(1) x を群 G の元としたときの ℤ → G : n ↦ x^{n}.

(2) ℝ ↦ GL_{2}(ℝ) : t ↦ ( \begin{matrix}cos t & − sin t \\ sin t & cos t \end{matrix} ).

(3) N = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ & & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & 0 \\ & & & & 1 \\ 0 & & … & & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{n}(ℝ) としたときの ℝ^{n} → ℝ^{n} : x ↦ N^{2}x.

IV-2 ℍ を 1, i, j, k を基底とする 4 次元 ℝ 線型空間とし, ℝ 双線型写像 ℍ × ℍ → ℍ : (x, y) ↦ xy を i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, ij = −ji = k, ki = −ik = j, jk = −kj = i で定める。 ℍ^{∗} = ℍ − {0} はこの乗法に関し群をなすことを示せ.

IV-3 H_{8} を ℍ の部分群 {±1, ±i, ±j, ±k} とする。

(1) H_{8} の {1} でない部分群は正規部分群 {±1} を含む.

(2) 商群 H_{8}/{±1} は C_{2} × C_{2} と同型.

(3) C_{2} × C_{2} の部分群を求めることにより H_{8}/{±1} の部分群をすべて求めよ. これらは正規部分群であることも示せ.

(4) D_{8} には正規でない部分群があることを示せ.

IV-4 m, n ≥ 1 を自然数とする. C_{mn} ≃ C_{m} × C_{n} であるためには m と n が互いに素であることが必要十分であることを示せ.

IV-5 G を有限群とし, H, K をその部分群とする.

(1) [G : H] × [H : H ∩ K] = [G : K] × [K : K ∩ H] を示せ.

(2) H, K の少なくとも一方が G の正規部分群なら [H : H ∩ K] は [G : K] の約数でかつ [K : K ∩ H] は [G : H] の約数であることを示せ.

(3) [G : H] と [K : K ∩ H] がどちらも 1 でなく, しかも互いに素であるような例を一つ与えよ. IV-6 群 G が集合 X に作用し, N は G の正規部分群であるとする.

(1) X の N による軌道空間 X̄ = N\X に商群 Ḡ = G/N が ḡx̄ = \overline{gx} で作用することを示せ.

以下 x ∈ X とし x の固定部分群を G_{x} で表わす.

(2) x̄ ∈ X̄ の固定部分群は G_{x}N/N であることを示せ.

(3) Ḡ が有限群であるとする. x の G 軌道 Gx ⊂ X は [G : G_{x}N] 個の N 軌道に分割されることを示せ.

(4) g ∈ N とし Z_{G}(g) = {h ∈ G|gh = hg} を G の中での g の中心化群とする. g の G の中での共役類は [G : Z_{G}(g)N] = [G : N]/[Z_{G}(g) : Z_{G}(g) ∩ N] 個の N 共役類に分割されることを示せ.

(5) S_{4} および A_{4} の各共役類の元の個数をすべて求めよ.

IV-7 (1)g = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ G = GL_{3}(ℝ) の中心化群 Z_{G}(g) をそれぞ

れ求めよ. (2)H = {A ∈ GL_{n}(ℝ)|A は対角行列}, B_{n} (II-5 の) ⊂ G = GL_{n}(ℝ) の正規化群 N_{G}(H) = {g ∈ G|gHg^{−1} = H} をそれぞれ求めよ.

1999 年度代数学 I 演習問題 V (1999.6.03)

追加 IV-8 G = ℝ^{×} の X = ℝ^{2} への作用を (t, (x, y)) ↦ (tx, t^{−1}y) で定める. この作用に関する X の軌道分解のようすを図示せよ.

V-1 G = GL_{2}(ℝ) の部分集合 S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4} を次のように定める.

S_{1} = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ) |a, b ∈ ℝ^{×}, a < b\}, S_{2} = \{( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) |a, b ∈ ℝ, b > 0\},
S_{3} = \{( \begin{matrix}a & 1 \\ 0 & a \end{matrix} ) |a ∈ ℝ^{×}\},  S_{4} = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) |a ∈ ℝ^{×}\}.

(1) 合併 S = S_{1} ∪ S_{2} ∪ S_{3} ∪ S_{4} は G の共役に関する完全代表系であることを示せ.

(2) S の元 g の中心化群 Z_{g}(G) をそれぞれの場合に求めよ.

(3) 中心化群 Z_{g}(G) は g ∈ S_{1} ならば ℝ^{×} × ℝ^{×} と, g ∈ S_{2} ならば ℂ^{×} と, g ∈ S_{3} ならば ℝ^{×} × ℝ とそれぞれ同型であることを示せ.

V-2 次の有限群の共役類への分割を求めよ.

(1) 5 次の対称群 S_{5}, (2) 正 2 面体群 D_{2n}, (3) 4 元数群 H_{8}.

V-3 1 ≤ i ≤ n + 1 に対し, f_{i} : ℝ^{n} → ℙ^{n}(ℝ), g_{i} : ℙ^{n−1}(ℝ) → ℙ^{n}(ℝ) をそれぞれ f_{i}(a_{1}, …, a_{n}) = (a_{1} : …: a_{i−1} : 1 : a_{i} : …: a_{n}), g_{i}(a_{1} : …: a_{n}) = (a_{1} : …: a_{i−1} : 0 : a_{i} : …: a_{n}) で定める.

(1) f_{i}, g_{i} は単射であることを示せ.

(2) ℙ^{n}(ℝ) = ⋃_{i=1}^{n+1} f_{i}(ℝ^{n}) であることを示せ.

(3) ℙ^{n}(ℝ) = f_{i}(ℝ^{n}) ∪ g_{i}(ℙ^{n−1}(ℝ)) であることを示せ.

V-4 群 G が集合 X に作用しているとする.

(1) x ∈ X, g ∈ G とすると gx の固定部分群 G_{gx} は x の固定部分群を G_{x} の g による共役 gG_{x}g^{−1} であることを示せ.

(2) G の X への作用の核 N = {g ∈ G| すべての x ∈ X に対し gx = g} = ⋂_{x∈X} G_{x} は群の準同型 G → {X から X への全単射} : g ↦ (x ↦ gx) の核と等しく, したがって正規部分群であることを示せ.

(3) H を G の部分群とし X = G/H とする. X への作用の核 N は ⋂_{g∈G} gHg^{−1} と等しく, H に含まれる最大の正規部分群であることを示せ.

V-5 G を有限群とし, p を G の位数の最小の素因数とする. H が G の指数 p の部分群なら H は G の正規部分群である. このことを次のようにして示せ.

(1) X = {H の共役} とおき, G の X への自然な作用を考える. H ∈ X の固定部分群は H の正規化群 N_{G}(H) であり, したがって X の元の個数は N_{G}(H) の指数に等しく, H の指数 p の約数である.

(2) N を G の X への作用の核とすると, N の指数は G の位数と, X の元の個数の階乗の公約数でありしたがって p の約数である.

(3) G ⊃ N_{G}(H) ⊃ N で [G : N] は 1 か p だから, N_{G}(H) は G か N に一致する. どちらにしても N_{G}(H) は正規部分群.

(4) G ⊃ N_{G}(H) ⊃ H で [G : H] = p だから, N_{G}(H) は G か H に一致する. どちらにしても H は正規部分群.

V-6 p を素数とする.

(1) 位数が p^{2} の群は, C_{p} × C_{p} か C_{p^{2}} のどちらかと同型なことを示せ.

(2) 位数が 2p の群は, C_{2p} か D_{2p} のどちらかと同型なことを示せ.

V-7 先週の問題 IV-2 の ℍ は, そこで定めた乗法に関して斜体であることを示せ.

1999 年度代数学 I 演習問題 VI(1999.6.10)

VI-1 複素数体の乗法群 ℂ^{×} は ℝ × (ℝ/ℤ) と同型なことを示せ.

VI-2 2 次元 ℝ 線型空間 A = ℝ[ε] = ℝ ⊕ ℝ · ε に乗法を (a + bϵ) · (a′ + b′ϵ) = aa′ + (ab′ + a′b)ϵ と定める.

(1) A = ℝ[ε] は環になることを示せ.

(2) 乗法群 ℝ[ε]^{×} は {a + bε ∈ A : a ∈ ℝ^{×}, b ∈ ℝ} で, ℝ^{×} × ℝ と同型なことを示せ.

(3) 環 A = ℝ[ε] 上の多項式環 A[X] の乗法群 A[X]^{×} は, {a + bε ∈ A[X] : a ∈ ℝ^{×}, b ∈ ℝ[X]} で, ℝ^{×} × ℝ[X] と同型なことを示せ.

(4) ℝ 上の環 R に対し, 次の写像が全単射であることをしめせ.

{ℝ 上の環の準同型 ℝ[ε] → R} ⟶ {x ∈ R|x^{2} = 0} : f ↦ f(ε).

VI-3 A ∈ M_{n}(ℝ) とする. 環の準同型 ℝ[X] → M_{n}(ℝ) : X ↦ A の核は, A の最小多項式によって生成されることを示せ.

VI-4 X ↦ ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) で定まる ℝ 上の環の準同型 ℝ[X] → M_{2}(ℝ) の像を R, 核を I

とする.

(1) R = \{( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℝ)|a, b ∈ ℝ\} であることを示せ.

(2) ℂ → R : a + b\sqrt{−1} ↦ ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) は体の同型であることを示せ.

(3) I = (X^{2} + 1) であることを示せ.

VI-5 X ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) で定まる ℝ 上の環の準同型 ℝ[X] → M_{2}(ℝ) の像を R, 核を I と

する.

(1) R = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℝ)|a, b ∈ ℝ\} であることを示せ.

(2) ℝ[ε] → R : a + bε ↦ ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a \end{matrix} ) は環の同型であることを示せ.

(3) I = (X^{2}) であることを示せ.

(4) 環 ℝ[ε] のイデアルをすべて求めよ.

VI-6 M を有限アーベル群とする. 環の準同型 ℤ → End(M) の核は, M の元の位数の最小公倍数によって生成されることを示せ.

(1) この値は M の位数の約数であることを示せ.

(2) この値は M の元の位数の最大値に等しいことを示せ.

VI-7 ℂ の部分環として ℝ(\sqrt{−1}) = ℝ(\sqrt{−2}) だが ℚ(\sqrt{−1}) と ℚ(\sqrt{−2}) は環として同型でないことを示せ.

VI-8 n ≥ 1 とする. 次の対応はそれぞれ 1 対 1 であることを示せ.

(1) \begin{matrix}\{M_{n}(ℝ) の左イデアル\} & ↔ & \{ℝ^{n}の部分空間\} \\ I & ↦ & \{x ∈ ℝ^{n}|A ∈ I ならばAx = 0\} \\ \{A ∈ M_{n}(ℝ)|x ∈ W ならばAx = 0\} & ← & W \end{matrix}

(2) \begin{matrix}\{M_{n}(ℝ) の右イデアル\} & ↔ & \{ℝ^{n}の部分空間\} \\ I & ↦ & \{Ax ∈ ℝ^{n}|A ∈ I, x ∈ ℝ^{n}\} \\ \{A ∈ M_{n}(ℝ)|x ∈ ℝ^{n}ならばAx ∈ W \} & ← & W \end{matrix}

(3) {M_{n}(ℝ) の両側イデアル} = {0, M_{n}(ℝ)} を示せ. VI-9 ℝ[X] の部分環 ℝ[X^{2}, X^{3}] は ℝ[X] と同型ではないことを示せ. VI-10

𝔽 → \{( \begin{matrix}α & −β \\ β̄ & ᾱ \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℂ)\} : a + bi + cj + dk ↦ ( \begin{matrix}a + bi & −c − di \\ c − di & a − bi \end{matrix} )

は斜体の同型であることを示せ.

1999 年度代数学 I 演習問題 VII(1999.6.17)

VII-1 商環 ℤ/60ℤ のイデアルをすべて求めよ. そのうち素イデアルであるものもすべて求めよ.

VII-2 任意の可換環 R に対し, 商環 R[X]/(X^{2} − 1) と直積環 R × R は R 上同型であることを示せ.

VII-3 (1) A ∈ M_{n}(ℝ) とする. f ∈ M_{n}(ℝ) を A の最小多項式とすると, ℝ[X] → M_{n}(ℝ) : X ↦ A は同型 ℝ[X]/(f) → ℝ[A] をひきおこすことを示せ.

(2) A = ( \begin{matrix}a & 1 & 0 & … & 0 \\ & & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & 0 \\ & & & & 1 \\ 0 & & … & & a \end{matrix} ) ∈ M_{n}(ℝ) とする. ℝ[A] は商環 ℝ[T]/(T^{n}) と同型で

あることを示せ.

(3) M_{2}(ℝ) の ℝ 上の部分環で可換なものは ℝ × ℝ, ℝ[X]/(X^{2}), ℂ のどれかと ℝ 上同型なことを示せ.

VII-4(1) ℤ[\sqrt{−1}] は単項イデアル整域であることを示せ.

(2) ℤ[\sqrt{−5}] のイデアル (2, 1 + \sqrt{−5}) は単項イデアルでないことを示せ.

VII-5 A, B を可換環とし, f : A → B を環の準同型とする.

(1) q が B の素イデアルならば, p = f^{−1}q は A の素イデアルであることを示せ.

(2) q が B の極大イデアルであっても, p は A の極大イデアルとは限らないことを示せ.

(2) p が A の素イデアルであっても, pB が B の素イデアルとは限らないことを示せ.

VII-6 (1) A は極大イデアルをただ１つもつとする. m を A の極大イデアルとすると A^{×} = A − m = {a ∈ A|a ∉ m} であることを示せ.

(2) 商環 ℤ/nℤ の極大イデアルがただ 1 つであるための整数 n の条件をもとめよ.

(3) 商環 ℝ[X]/(f) の極大イデアルがただ 1 つであるための多項式 f ∈ ℝ[X] の条件をもとめよ.

VII-7(1) G を位数 n の可換群とする. n のすべての約数 m について, 部分群 {x ∈ G|x^{m} = 1} の位数が m であるとすると, G は巡回群であることを示せ.

(2) p を素数とする. 位数 p の有限体 𝔽_{p} の乗法群 𝔽_{p}^{×} は, 位数 p − 1 の巡回群であることを示せ.

VII-8 A = ℤ[\sqrt{−1}] の素イデアルを次のようにしてすべて求めよ.

(1) A の 0 でない素イデアルはある素数 p を含む.

(2) A ≃ ℤ[X]/(X^{2} + 1), 𝔽_{p}[X] ≃ ℤ[X]/(p) を示せ.

(3) A/(p) ≃ ℤ[X]/(X^{2} + 1, p) ≃ 𝔽_{p}[X]/(X^{2} + 1) を示せ.

(4) 次の 1 対 1 対応を示せ.

{ A の p を含む素イデアル} ⟶ {A/(p) の素イデアル}

⟶{𝔽_{p}/(X^{2} + 1) の素イデアル}

= \{ \begin{matrix}\{(X + 1)\} & p = 2 のとき \\ \{(X − α), (X + α)\} & p ≡ 1 mod 4 のとき \\ \{(X^{2} + 1)\} & p ≡ 3 mod 4 のとき. \end{matrix}

10

ただし p ≡ 1 mod 4 のとき, α ∈ 𝔽_{p} は, 𝔽_{p}^{×} の位数 4 の元を表わす.

1999 年度代数学 I 演習問題 VIII (1999.6.24)

前回の追加問題

VII-9 n, m ∈ ℤ の最大公約数を d, 最小公倍数を ℓ とする. nℤ+mℤ = dℤ, nℤ∩mℤ = ℓℤ を示せ.

VII-10 ℝ[X] のイデアル (X^{3} − X, X^{2} − 3X + 2), (X^{3} − X) ∩ (X^{2} − 3X + 2) の生成元を求めよ.

VII-11 (1) K を体とする. 2 変数多項式環 K[X, Y] のイデアル (X, Y) は単項イデアルでないことを示せ.

(2) ℤ[X] のイデアル (2, X) も単項イデアルでないことを示せ.

VII-12 環の準同型 ℤ[X] → ℂ : X ↦ \sqrt{−1} の核は (X^{2} + 1) であることを示せ.

VII-13 A ∈ M_{2}(ℝ) がそれぞれ次の (1)-(3) のもののとき, ℝ 上 A によって生成される M_{2}(ℝ) の部分環 ℝ[A] を集合として求めよ.

(1) ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) , (a ≠ b)  , (2) ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a \end{matrix} ) , (b ≠ 0)  , (3) ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) , (b ≠ 0).

VII-13 M_{2}(ℝ) の部分環 \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℝ)|c = 0\} は ℝ 上 1 つの元では生成されな

いことを示せ.

VII-14 環 R のイデアル I と R の乗法群 R^{×} の共通部分が空でなければ, R = I であることを示せ.

VIII-1 f ∈ R^{×} ならば, 自然な写像 R → R[X]/(fX − 1) は同型であることを示せ.

VIII-2 ℝ[X, Y]/(X^{2} + Y^{2} − 1) と ℝ[X, Y]/(XY − 1) は (ℝ 上の) 環として同型でないが, ℂ[X, Y]/(X^{2} + Y^{2} − 1) と ℂ[X, Y]/(XY − 1) は ℝ 上の環として同型なことを示せ.

VIII-3 次の環をわかりやすい環の直積としてあらわせ.

(1) ℝ[X]/(X^{5} − X^{4} + X − 1), (2) ℝ[X, Y]/(X + Y − 2, X^{2} + Y^{2} − 2),

(3) ℝ[X, Y]/(X +Y −4, X^{2}+Y^{2}−2), (4) ℝ[X, Y]/(XY −12, X^{2}+Y^{2}−25),

(5) ℝ[X, Y]/(XY − 1, X^{2} + Y^{2} − 2), (6) ℝ[X, Y]/(XY − 1, X^{2} + Y^{2} + 1),

(7) ℤ/(120, 300),  (8) ℤ[X]/(2Y −1, X^{2} −2X −3),  (9) ℤ[X]/(X^{2} −3X +2).

VIII-4 R を可換環とする. R のイデアル I_{1}, I_{2} について, 次の条件 (1)-(3) は同値であることを (CRT を使わずに) 示せ

(1) R → R/I_{1} × R/I_{2} は同型.

(2) I_{1} + I_{2} = R, I_{1} ∩ I_{2} = 0.

(3) R の元 e_{1}, e_{2} で e_{1}^{2} = e_{2}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{1}e_{2} = 0 かつ I_{1} = Re_{1}, I_{2} = Re_{2} をみたすものが存在する.

VIII-5 I_{1}, I_{2} を可換環 R のイデアルとし, a ∈ I_{2}, b ∈ I_{1} が 1 = a + b を満たすとする. 4 の (3)⇒(1) を R として R/I_{1}I_{2}, e_{1}, e_{2} として a, b の像ととったものに適用することにより, CRT を証明せよ.

1999 年度代数学 I 演習問題 IX (1999.7.01)

IX-1 p を素数とする.

(1) GL_{n}(𝔽_{p}) の位数を求めよ. SL_{n}(𝔽_{p}) の位数も求めよ.

(2) G = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(𝔽_{p})\}, H = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(𝔽_{p})\} とおく. G と H は

同型かどうか調べよ.

IX-2 p を素数とし R を 𝔽_{p} 上の可換環とする. 写像 R → R : x ↦ x^{p} は 𝔽_{p} 上の環の準同型であることを示せ.

IX-3 位数 n の巡回群の自己同型群は (ℤ/nℤ)^{×} と同型なことを示せ.

IX-4 (1) p を 2 でない素数とする. 自然数 n ≥ 1 に対し, (ℤ/p^{n}ℤ)^{×} ≃ ℤ/(p − 1)ℤ × ℤ/p^{n−1}ℤ を示せ.

(2) 自然数 n ≥ 2 に対し, (ℤ/2^{n}ℤ)^{×} ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2^{n−2}ℤ を示せ.

(3) 自然数 n に対し, (ℤ/nℤ)^{×} が巡回群となるための条件を求めよ.

IX-5 (1) 自然数 n ≥ 1 に対し, (ℝ[X]/(X^{n}))^{×} ≃ ℝ^{×} × ℝ^{n−1} を示せ.

(2) p を素数とする. 自然数 n ≤ p に対し, (𝔽_{p}[X]/(X^{n}))^{×} ≃ 𝔽_{p}^{×} × 𝔽_{p}^{n−1} だが, (𝔽_{p}[X]/(X^{p+1}))^{×} ≄ 𝔽_{p}^{×} × 𝔽_{p}^{p} であることを示せ.

IX-6 R を可換環とする.

(1) S ⊂ R を積閉部分集合とする. 0 ∈ S ならば, S^{−1}R = 0 であることを示せ.

(2) f を R の元とし, S = S_{f} = {f^{n}|n ∈ ℕ} とおく. このとき, R[X] → S^{−1}R : X ↦ \frac{1}{f} は同型 R[X]/(fX − 1) → S^{−1}R をひきおこすことを示せ.

(3) I を可換環 R のイデアルとする. I が素イデアルであることと S = R − I が積閉集合であることは同値であることを示せ.

IX-7 R を可換環とし, S を積閉集合, i : R → S^{−1}R を標準写像とする. 任意の可換環 R′ に対し, 写像

{ 環の準同型S^{−1}R → R′} ⟶ { 環の準同型R → R′} : f ↦ f ∘ i

は単射で, その像は { 環の準同型f : R → R′|f(S) ⊂ R^{′×}} であることを示せ.

IX-8 R, S, i : R → S^{−1}R を IX-7 のとおりとする. たがいに逆向きの写像

{R のイデアル} ⇄^{F} {S^{−1}R のイデアル}

を F (I) = S^{−1}R · i(I), G(J) = i^{−1}J で定義する.

(1) F ∘ G は {S^{−1}R のイデアル} の恒等写像であることを示せ.

(2) G ∘ F の像は {I は R のイデアル | 任意の s ∈ S, r ∈ R に対し, sr ∈ I ならば r ∈ I}

であることを示せ.

(3) R が整域 S = R − {0} なら, G ∘ F の像は {0, R} であることを示せ. これを使って, S^{−1}R が体であることを示せ.

(4) I を R の素イデアルとし, S = R − I とおく. R_{I} = S^{−1}R は極大イデアルをただ 1 つもつことを示せ.

IX-9 (1) ℝ[X, Y]/(X^{2} − Y^{3}) ≃ ℝ[T^{2}, T^{3}] を示せ.

(2) ℝ[X, Y]/(X^{2} − Y^{3})[\frac{1}{X}] ≃ ℝ[T, \frac{1}{T}] を示せ.

1999 年度代数学 I 演習問題 X (1999.7.8)

前回の追加問題

IX-9 f, g ∈ ℝ[X] の最大公約式を d, 最小公倍式を ℓ とする. (f)+(g) = (d), (f)∩(g) = (ℓ) を示せ.

X-1(1) ℤ[\sqrt{−1}] の分数体は ℚ(\sqrt{−1}) であることを示せ.

(2) a ∈ ℂ, a ≠ 0, 1 とする. ℂ[X, Y]/(Y^{2} − X(X − 1)(X − a)) は整域でその分数体は ℂ(X)[Y]/(Y^{2} − X(X − 1)(X − a)) であることを示せ.

X-2 R = ℝ[X, Y]/(XY) とする.

(1) S = {X^{n}|n ∈ ℕ} とすると, S^{−1}R ≃ ℝ[X, X^{−1}] であることを示せ.

(2) S = {(X + Y)^{n}|n ∈ ℕ} とすると, S^{−1}R ≃ ℝ[X, X^{−1}] × ℝ[Y, Y^{−1}] であることを示せ.

X-3 (1) ℤ/60ℤ の素イデアルをすべて求めよ.

(2) ℝ/(X^{6} − X^{2}) の素イデアルをすべて求めよ.

(3) これらの素イデアルはすべて極大イデアルであることを示せ.

X-4 ℝ[X, Y] のイデアル (X), (X^{2} − Y^{3}) は素イデアルだが, 極大イデアルではないことを示せ.

X-5 ℤ[\sqrt{−1}] は PID であることを示し, 30 ∈ ℤ[\sqrt{−1}] を素元分解せよ.

X-6 ℤ[X]/(X + 2, X^{2} + 1) は体であることを示し, その標数を求めよ.

X-7 命題「0 でない任意の可換環は極大イデアルをもつ」は選択公理と同値か?

X-8 (1) 位数が有限な整域は体であることを示せ.

(2) 体上有限次元の整域は体であることを示せ.

X-9 R を可換環とし, X = Spec R = {R の素イデアル} とおく. R のイデアル I に対し V (I) = {p ∈ Spec R|p ⊃ I} とおく.

(1) {V (I)|I は R のイデアル} を閉集合全体と定めることにより, X は位相空間となることを示せ.

(2) f ∈ R に対し, D(f) = {p ∈ X|f ∉ p} は X の開集合であることを示せ.

(3) X = Spec R が連結であるためには, R の元 e で e^{2} = e を満たすものは e = 0, 1 だけであることが必要十分であることを示せ.

(4) f : R → R′ を可換環の準同型とする. 写像 f^{∗} : Spec R′ → Spec R を f^{∗}(p) = f^{−1}p で定めると, これは連続であることを示せ.

(5) I を R のイデアルとし, p : R → R/I を標準全射とする. p^{∗} : Spec R/I → Spec R は, 位相同型 Spec R/I → V (I) をひきおこすことを示せ.

(6) f ∈ R とし, i : R → R[\frac{1}{f}] = S_{f}^{−1}R を標準写像とする. i^{∗} : Spec R[\frac{1}{f}] → Spec R は, 位相同型 Spec R[\frac{1}{f}] → D(f) をひきおこすことを示せ.

1999 年度代数学 I 演習問題 XI (1999.7.15)

XI-1 次の PID の素元の完全代表系を 1 つ求めよ.

(1) ℝ[X],  (2) ℂ[X],  (3) ℤ[\sqrt{−1}].

XI-2 (1) 商環 ℤ[X]/(X^{2} + X + 1) は PID であることを示せ.

(2) R が PID で S ⊂ R が 0 を含まない積閉部分集合ならば, S^{−1}R も PID であることを示せ.

XI-3 (1) 3 次対称群 S_{3} は C_{2} と C_{3} の半直積であることを示せ.

(2) 位数 2n の正 2 面体群 D_{2n} は {±1} の C_{n} への自然な作用に関する半直積であることを示せ.

XI-4 p, q を相異なる素数とし p < q とする. G を位数 pq の群とする.

(1) q ≢ 1 mod p なら G ≃ C_{pq} であることを示せ.

以下 q ≡ 1 mod p とする.

(2) G が可換なら G ≃ C_{pq} であることを示せ.

(3) AutC_{q} = 𝔽_{q}^{×} は位数 p の部分群 H をただ 1 つもつことを示せ.

(4) G が非可換なら, G ≃ H ⋉ C_{q} であることを示せ.

XI-5 p を素数とする. (1)

G = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & 1 \end{matrix} ) |a ∈ 𝔽_{p}^{×}, b ∈ 𝔽_{p}\}

は 𝔽_{p}^{×} の 𝔽_{p} への自然な作用に関する半直積 𝔽_{p}^{×} ⋉ 𝔽_{p} と同型であることを示せ. (2)

G′ = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) |a ∈ 𝔽_{p}^{×}, b ∈ 𝔽_{p}\}

は 𝔽_{p}^{×} の 𝔽_{p} への作用 (a, b) ↦ a^{2}b に関する半直積 𝔽_{p}^{×} ⋉ 𝔽_{p} と同型であることを示せ.

(3) p ≠ 2 なら G ≄ G′ であることを示せ.

XI-6 D_{n} は a, b を生成元, a^{n} = 1, b^{2} = 1, bab = a^{−1} を基本関係式としてもつ群であることを示せ.

1999 年度代数学 I 試験問題 (斎藤毅) 1999.9.6, 13:00-16:00 注意：答案用紙 1 枚目に I, 2 枚目に II を解答してください。うらも使って結構で

す. それでも足りない場合には用紙をもらって下さい。

解答は答だけを書くのではなく, それが答になっていることの説明を詳しく記述してください。答があっていても, この点が不十分な場合は大きく減点されることがあります。

I. 群に関する次の問いに答えよ. 自然数 n に対し, C_{n} で位数 n の巡回群を表わす.

(1) 3 次対称群 S_{3} の部分群, 正規部分群をすべて求めよ.

(2) 同型 C_{2} × C_{3} → C_{6} を 1 つ与えよ. C_{2} × C_{4} は C_{8} と同型でないことも示せ.

(3) C_{1500} の部分群の個数を求めよ.

(4) n を自然数とする. 商群 ℤ/nℤ は ℂ^{×} の部分群 μ_{n} = {x ∈ ℂ^{×}|x^{n} = 1} と同型であることを準同型定理を使って示せ.

(5) G を n 次対称群 S_{n} とし, X = {I|I ⊂ {1, 2, …, n}} とおく. G の X への作用を σ(I) = {σ(i)|i ∈ I} で定める. X を G の作用で定まる同値類に分解せよ. 各 I ∈ X に対し, I の固定部分群 G_{I} を求め, それを群の直積に分解せよ.

(6) 4 次交代群 A_{4} を共役類に分解せよ. A_{4} の正規部分群をすべて求めよ. 自明でない正規部分群 N に対し, 商群 A_{4}/N と同型な簡単な群を求めよ.

II. 環に関する次の問いに答えよ.

(1) 整数環 ℤ のイデアル (360) + (105), (360) ∩ (105) を単項イデアルとして表せ.

(2) 実数体 ℝ 上の環の準同型 ℝ[X] → ℂ : X ↦ \sqrt{−1} の核の生成元を求め, 複素数体 ℂ を多項式環 ℝ[X] の商環として表せ.

(3) 商環 ℤ/360ℤ の乗法群 (ℤ/360ℤ)^{×} の位数を求めよ. この乗法群を巡回群の直積としてあらわせ.

(4) ℤ[X] の 0 でも極大イデアルでもない素イデアル p と, p を含む極大イデアル m の例を具体的に 1 組与えよ. この p と m について, ℤ[X]/p の分数体, 剰余体 ℤ[X]/m の標数をそれぞれ求めよ.

(5) A ∈ M_{2}(ℝ) とする. A によって生成される M_{2}(ℝ) の部分環 ℝ[A] は ℝ, ℝ × ℝ, ℝ[X]/X^{2}, ℂ のどれかと同型なことを示せ. ℝ[A] がこれらのうちどれと同型になるかを, A の最小多項式についての条件で表せ.

(6) p を素数とし, 𝔽_{p} = ℤ/pℤ を位数 p の有限体とする. ℤ[\sqrt{−1}]/pℤ[\sqrt{−1}] ≃ 𝔽_{p}[X]/(X^{2} + 1) であることと, 𝔽_{p}^{×} が位数 p − 1 の巡回群であることを示して, 単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] で素数 p がどのように素元分解されるか調べよ.

略解

I. (1) 部分群 {1}, ⟨(12)⟩, ⟨(13)⟩, ⟨(23)⟩, ⟨(123)⟩, S_{3}.

正規部分群 {1}, ⟨(123)⟩, S_{3}.

(2) Chinese Remainder Theorem により, ℤ/6ℤ → ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ : n mod 6 ↦ (n mod 2, n mod 3) は同型.

C_{2} × C_{4} は位数 8 の元をもたないが C_{8} は位数 8 の元をもつ.

(3) 一般に C_{n} の部分群の個数は n の約数の個数と等しい. 1500 = 2^{2} × 3 × 5^{3} の約数の個数は 3 × 2 × 4 = 24.

(4) f_{n} : ℤ → ℂ^{×} を 1 ↦ exp(\frac{2π\sqrt{−1}}{n}) で定めると, この核は nℤ, 像は μ_{n}. したがって準同型定理より f_{n} は同型 ℤ/nℤ → μ_{n} をひきおこす.

(5) X = ⋃_{i=0}^{n}{I ∈ X|I の元の個数は i}.

G_{I} = {I から I への全単射} × {I の補集合から I の補集合への全単射} ≃ S_{i} × S_{n−i}.

(6) 共役類: {1}, {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}, {(123), (142), (134), (243)}, {(132), (124), (143), (234)}. 正規部分群: {1}, N = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, A_{4}. 商群: A_{4}/N ≃ C_{3}.

II. (1) (360) + (105) = (15), (360) ∩ (105) = (2520).

(2) 核の生成元:X^{2} + 1. 準同型定理より ℝ[X]/(X^{2} + 1) ≃ ℂ.

(3) Chinese Remainder Theorem より ℤ/360ℤ ≃ ℤ/8ℤ × ℤ/9ℤ × ℤ/5ℤ だから, (ℤ/360ℤ)^{×} ≃ (ℤ/8ℤ)^{×} × (ℤ/9ℤ)^{×} × (ℤ/5ℤ)^{×} ≃ C_{2} × C_{2} × C_{6} × C_{4}. 位数は 96.

(4) p = (X), m = (2, X). ℤ[X]/p ≃ ℤ の分数体 ℚ の標数は 0, 剰余体 ℤ[X]/m ≃ ℤ/2ℤ の標数は 2.

(5) A の最小多項式を f とすると, f は 1 次または 2 次式であり, ℝ[A] ≃ ℝ[X]/(f). f が 1 次式なら ℝ[X]/(f) ≃ ℝ. f が 2 次式とすると, f の判別式が正, 0, 負に応じて, ℝ[X]/(f) ≃ ℝ × ℝ, ℝ[X]/X^{2}, ℂ となる.

(6) ℤ[\sqrt{−1}]/pℤ[\sqrt{−1}] ≃ ℤ[X]/(X^{2} + 1, p) ≃ 𝔽_{p}[X]/(X^{2} + 1). p − 1 の約数 n にたいし, 𝔽_{p}^{×} の位数 n の元の個数は n 以下だから 𝔽_{p}^{×} は巡回群.

p ≡ 1 mod 4 なら 𝔽_{p}[X] で X^{2} + 1 は相異なる一次式の積に分解する. X^{2} + 1 = (X − u)(X + u). 単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] においてイデアル (p, u ± \sqrt{−1}) の生成元を π = a + b\sqrt{−1}, π̄ = a − b\sqrt{−1} とすれば, p = ππ̄ と同値でない素元の積に分解される.

p ≡ −1 mod 4 なら 𝔽_{p}[X] で X^{2} + 1 は既約であり, 従って p は単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] の素元である.

2 = −\sqrt{−1}(1 + \sqrt{−1})^{2} であり, −\sqrt{−1}, 1 + \sqrt{−1} は単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] のそれぞれ可逆元および素元である.

1999 年度代数学 I 追試験問題 (斎藤毅)

注意：答案用紙おもてに I, うらに II を解答してください。足りない場合には用紙をもらって下さい。

解答は答だけを書くのではなく, それが答になっていることの説明を詳しく記述してください。答があっていても, この点が不十分な場合は大きく減点されることがあります。

I. X = {(1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1)} ⊂ ℝ^{2} とし, G を X の点を X の点に移す GL_{2}(ℝ) の元全体からなる部分群 G = {A ∈ GL_{2}(ℝ)|x ∈ X ならばAx ∈ X} とする. 次の問いに答えよ.

(1) G の位数を求めよ. 準同型 G → ℝ^{×} : A ↦ det A の核の位数も求めよ.

(2) G の正規部分群 \{1, ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )\} による商群は巡回群ではないが, 巡回群の直

積と同型なことを示せ.

(3) G の X × X への作用を A(x, y) = (Ax, Ay) と定める. X × X を G の作用による軌道に分解せよ. 各軌道から代表元を 1 つ選びその元の固定部分群を求めよ.

II. 環に関する次の問いに答えよ.

(1) 実数体 ℝ 上の環の準同型 ℝ[X] → ℂ : X ↦ \sqrt{−1} の核の生成元を求め, 複素数体 ℂ を多項式環 ℝ[X] の商環として表せ.

(2) 商環 ℤ/600ℤ の乗法群 (ℤ/600ℤ)^{×} の位数を求めよ.

(3) ℤ[X] の 0 でも極大イデアルでもない素イデアル p と, p を含む極大イデアル m の例を具体的に 1 組与えよ. この p と m について, ℤ[X]/p の分数体, 剰余体 ℤ[X]/m の標数をそれぞれ求めよ.

略解

I. (1) 部分群 {1}, ⟨(12)⟩, ⟨(13)⟩, ⟨(23)⟩, ⟨(123)⟩, S_{3}.

正規部分群 {1}, ⟨(123)⟩, S_{3}.

(2) Chinese Remainder Theorem により, ℤ/6ℤ → ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ : n mod 6 ↦ (n mod 2, n mod 3) は同型.

C_{2} × C_{4} は位数 8 の元をもたないが C_{8} は位数 8 の元をもつ.

(3) 一般に C_{n} の部分群の個数は n の約数の個数と等しい. 1500 = 2^{2} × 3 × 5^{3} の約数の個数は 3 × 2 × 4 = 24.

(4) f_{n} : ℤ → ℂ^{×} を 1 ↦ exp(\frac{2π\sqrt{−1}}{n}) で定めると, この核は nℤ, 像は μ_{n}. したがって準同型定理より f_{n} は同型 ℤ/nℤ → μ_{n} をひきおこす.

(5) X = ⋃_{i=0}^{n}{I ∈ X|I の元の個数は i}.

G_{I} = {I から I への全単射} × {I の補集合から I の補集合への全単射} ≃ S_{i} × S_{n−i}.

(6) 共役類: {1}, {(12)(34), (13)(24), (14)(23)}, {(123), (142), (134), (243)}, {(132), (124), (143), (234)}. 正規部分群: {1}, N = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, A_{4}. 商群: A_{4}/N ≃ C_{3}.

II. (1) (360) + (105) = (15), (360) ∩ (105) = (2520).

(2) 核の生成元:X^{2} + 1. 準同型定理より ℝ[X]/(X^{2} + 1) ≃ ℂ.

(3) Chinese Remainder Theorem より ℤ/360ℤ ≃ ℤ/8ℤ × ℤ/9ℤ × ℤ/5ℤ だから, (ℤ/360ℤ)^{×} ≃ (ℤ/8ℤ)^{×} × (ℤ/9ℤ)^{×} × (ℤ/5ℤ)^{×} ≃ C_{2} × C_{2} × C_{6} × C_{4}. 位数は 96.

(4) p = (X), m = (2, X). ℤ[X]/p ≃ ℤ の分数体 ℚ の標数は 0, 剰余体 ℤ[X]/m ≃ ℤ/2ℤ の標数は 2.

(5) A の最小多項式を f とすると, f は 1 次または 2 次式であり, ℝ[A] ≃ ℝ[X]/(f). f が 1 次式なら ℝ[X]/(f) ≃ ℝ. f が 2 次式とすると, f の判別式が正, 0, 負に応じて, ℝ[X]/(f) ≃ ℝ × ℝ, ℝ[X]/X^{2}, ℂ となる.

(6) ℤ[\sqrt{−1}]/pℤ[\sqrt{−1}] ≃ ℤ[X]/(X^{2} + 1, p) ≃ 𝔽_{p}[X]/(X^{2} + 1). p − 1 の約数 n にたいし, 𝔽_{p}^{×} の位数 n の元の個数は n 以下だから 𝔽_{p}^{×} は巡回群.

p ≡ 1 mod 4 なら 𝔽_{p}[X] で X^{2} + 1 は相異なる一次式の積に分解する. X^{2} + 1 = (X − u)(X + u). 単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] においてイデアル (p, u ± \sqrt{−1}) の生成元を π = a + b\sqrt{−1}, π̄ = a − b\sqrt{−1} とすれば, p = ππ̄ と同値でない素元の積に分解される.

p ≡ −1 mod 4 なら 𝔽_{p}[X] で X^{2} + 1 は既約であり, 従って p は単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] の素元である.

2 = −\sqrt{−1}(1 + \sqrt{−1})^{2} であり, −\sqrt{−1}, 1 + \sqrt{−1} は単項イデアル整域 ℤ[\sqrt{−1}] のそれぞれ可逆元および素元である.